Номер 765, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 765, страница 177.

765. Найдите b и решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}2x^2+bx-10=0 \\ {x}_1=5; 2·5^2+b·5-10=0 \\ 50+5b=10 \\ 5b=-40 \\ b=-8 \\ 2x^2-8x-10=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2-4x-5=0 \\ {x}_1+x_2=4 \\ 5+x_2=4 \\ {x}_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: $b=-8; 5; -1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3x^2+bx+24=0 \\ {x}_1=3; 3·3^2+b·3+24=0 \\ 27+3b+24=0 \\ 51+3b=0 \\ 3b=-51 \\ b=-17 \\ 3x^2-17b+24=0 \mathrm{/}:3 \\ {x}^2-\frac{17}{3}b+8=0 \\ {x}_1{x}_2=8 \\ 3x_2=8 \\ {x}_2=\frac{8}{3} \\ {x}_2=2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $b=-17; 3; 2\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(b-1\right)x^2-\left(b+1\right)x=72 \\ {x}_1=3 \\ \left(b-1\right)·3^2-\left(b+1\right)·3=72 \\ 9\left(b-1\right)-3\left(b+1\right)=72 \\ 9b-9-3b-3=72 \\ 6b-12=72 \\ 6b=84 \\ b=14 \\ \left(14-1\right)x^2-\left(14+1\right)x=72 \\ 13x^2-15x-72=0 \\ D={\left(-15\right)}^2-4·13·\left(-72\right)=225+3744=3969 \\ x=\frac{15\pm \sqrt{3969}}{26}; x=\frac{15\pm 63}{26} \\ {x}_1=3; x_2=\frac{-48}{26}=-\frac{24}{13}=-1\frac{11}{13} \end{gathered}$$

Ответ: $b=14; 3; -1\frac{11}{13}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left(b-5\right)x^2-\left(b-2\right)x+b=0 \\ {x}_1=\frac{1}{2} \\ \left(b-5\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\left(b-2\right)·\frac{1}{2}+b=0 \\ \frac{1}{4}\left(b-5\right)-\frac{b}{2}+1+b=0 \\ -\frac{b}{4}+b=\frac{1}{4} \\ \frac{3}{4}b=\frac{1}{4} \\ b=\frac{1}{4}:\frac{3}{4} \\ b=\frac{1}{4}·\frac{4}{3} \\ b=\frac{1}{3} \\ \left(\frac{1}{3}-5\right)x^2-\left(\frac{1}{3}-2\right)x+\frac{1}{3}=0 \\ -\frac{14}{3}{x}^2-\left(-\frac{5}{3}\right)x+\frac{1}{3}=0 \\ -\frac{14}{3}{x}^2+\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}=0\mathrm{/}·\left(-3\right) \\ 14x^2-5x-1=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·14·\left(-1\right)=25+56=81 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{81}}{28}; x=\frac{5\pm 9}{28} \\ {x}_1=\frac{14}{28}=\frac{1}{2}; x_2=-\frac{4}{28}=-\frac{1}{7} \end{gathered}$$

Ответ: $b=\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; -\frac{1}{7}$

а)

Дано уравнение $2x^2 + bx - 10 = 0$ и один из его корней $x_1 = 5$.

1. Найдем значение параметра $b$. Поскольку $x=5$ является корнем уравнения, при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное равенство:
$2 \cdot 5^2 + b \cdot 5 - 10 = 0$
$2 \cdot 25 + 5b - 10 = 0$
$50 + 5b - 10 = 0$
$40 + 5b = 0$
$5b = -40$
$b = -8$

2. Теперь решим уравнение, подставив найденное значение $b = -8$:
$2x^2 - 8x - 10 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Используем теорему Виета для нахождения второго корня. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение корней равно $q$.
$x_1 \cdot x_2 = -5$
Так как $x_1 = 5$, то:
$5 \cdot x_2 = -5$
$x_2 = -1$
Корни уравнения: 5 и -1.

Ответ: $b = -8$, корни уравнения $x_1 = 5, x_2 = -1$.

б)

Дано уравнение $3x^2 + bx + 24 = 0$ и один из его корней $x_1 = 3$.

1. Найдем значение параметра $b$. Подставим корень $x=3$ в уравнение:
$3 \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 24 = 0$
$3 \cdot 9 + 3b + 24 = 0$
$27 + 3b + 24 = 0$
$51 + 3b = 0$
$3b = -51$
$b = -17$

2. Решим уравнение с найденным значением $b = -17$:
$3x^2 - 17x + 24 = 0$
Используем теорему Виета. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{24}{3} = 8$
Так как $x_1 = 3$, то:
$3 \cdot x_2 = 8$
$x_2 = \frac{8}{3}$
Корни уравнения: 3 и $\frac{8}{3}$.

Ответ: $b = -17$, корни уравнения $x_1 = 3, x_2 = \frac{8}{3}$.

в)

Дано уравнение $(b - 1)x^2 - (b + 1)x = 72$ и один из его корней $x_1 = 3$.

1. Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:
$(b - 1)x^2 - (b + 1)x - 72 = 0$
Теперь найдем значение параметра $b$, подставив корень $x=3$ в уравнение:
$(b - 1) \cdot 3^2 - (b + 1) \cdot 3 - 72 = 0$
$9(b - 1) - 3(b + 1) - 72 = 0$
$9b - 9 - 3b - 3 - 72 = 0$
$6b - 84 = 0$
$6b = 84$
$b = 14$

2. Решим уравнение с найденным значением $b = 14$:
$(14 - 1)x^2 - (14 + 1)x - 72 = 0$
$13x^2 - 15x - 72 = 0$
Используем теорему Виета. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-72}{13}$
Так как $x_1 = 3$, то:
$3 \cdot x_2 = \frac{-72}{13}$
$x_2 = \frac{-72}{13 \cdot 3} = -\frac{24}{13}$
Корни уравнения: 3 и $-\frac{24}{13}$.

Ответ: $b = 14$, корни уравнения $x_1 = 3, x_2 = -\frac{24}{13}$.

г)

Дано уравнение $(b - 5)x^2 - (b - 2)x + b = 0$ и один из его корней $x_1 = \frac{1}{2}$.

1. Найдем значение параметра $b$. Подставим корень $x=\frac{1}{2}$ в уравнение:
$(b - 5)(\frac{1}{2})^2 - (b - 2)(\frac{1}{2}) + b = 0$
$(b - 5) \cdot \frac{1}{4} - \frac{b - 2}{2} + b = 0$
Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
$(b - 5) - 2(b - 2) + 4b = 0$
$b - 5 - 2b + 4 + 4b = 0$
$3b - 1 = 0$
$3b = 1$
$b = \frac{1}{3}$

2. Решим уравнение с найденным значением $b = \frac{1}{3}$:
$(\frac{1}{3} - 5)x^2 - (\frac{1}{3} - 2)x + \frac{1}{3} = 0$
$(\frac{1}{3} - \frac{15}{3})x^2 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})x + \frac{1}{3} = 0$
$-\frac{14}{3}x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{1}{3} = 0$
Умножим все уравнение на -3 для упрощения:
$14x^2 - 5x - 1 = 0$
Используем теорему Виета. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{14}$
Так как $x_1 = \frac{1}{2}$, то:
$\frac{1}{2} \cdot x_2 = -\frac{1}{14}$
$x_2 = -\frac{1}{14} \cdot 2 = -\frac{1}{7}$
Корни уравнения: $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{7}$.

Ответ: $b = \frac{1}{3}$, корни уравнения $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{7}$.