Номер 768, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 768, страница 177.

768. Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:

а) 2x² – 41x + 39 = 0;

б) 17x² + 243x – 260 = 0.

$a{x}^2+bx+c=0ax^2+bx+c=0$

Если a+b+c=0, то

$$\begin{gathered} b=-a-c=-\left(a+c\right) \\ a{x}^2-\left(a+c\right)x+c=0 \\ D={\left(-\left(a+c\right)\right)}^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac= \\ =a^2-2ac+c^2={\left(a-c\right)}^2 \\ {x}_1=\frac{a+c+\sqrt{{\left(a-c\right)}^2}}{2a}=\frac{a+c+a-c}{2a}=\frac{2a}{2a}=1 \\ {x}_2=\frac{a+c-\sqrt{{\left(a-c\right)}^2}}{2a}=\frac{a+c-a+c}{2a}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2x^2-41x+39=0 \\ a+b+c=2+\left(-41\right)+39=0 \\ {x}_1=1; x_2=\frac{39}{2}=19\frac{1}{2}=19,5 \end{gathered}$$

Ответ: 1; 19,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}17x^2+243x-260=0 \\ a+b+c=17+243+\left(-260\right)=0 \\ {x}_1=1; x_2=\frac{-260}{17}=-15\frac{5}{17} \end{gathered}$$

Ответ: 1; $-15\frac{5}{17}-15\backslash frac\{5\}\{17\}$

Сначала докажем приведённое утверждение. Дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. По условию, сумма его коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.
Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить его в уравнение вместо переменной. Если получится верное равенство, то число является корнем.
Подставим $x=1$ в левую часть уравнения:
$a(1)^2 + b(1) + c = a \cdot 1 + b + c = a + b + c$.
Поскольку из условия мы знаем, что $a + b + c = 0$, то левая часть уравнения при $x=1$ обращается в ноль. Мы получаем верное равенство $0 = 0$.
Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения, если сумма его коэффициентов равна нулю. Утверждение доказано.

Теперь, используя это свойство, решим уравнения.

а) $2x^2 - 41x + 39 = 0$
Найдём сумму коэффициентов: $a=2$, $b=-41$, $c=39$.
$a + b + c = 2 + (-41) + 39 = 41 - 41 = 0$.
Так как сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней уравнения $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2$ найдём по теореме Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Подставим известные значения:
$1 \cdot x_2 = \frac{39}{2}$
$x_2 = 19.5$
Ответ: $1; 19.5$.

б) $17x^2 + 243x - 260 = 0$
Найдём сумму коэффициентов: $a=17$, $b=243$, $c=-260$.
$a + b + c = 17 + 243 - 260 = 260 - 260 = 0$.
Так как сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней уравнения $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2$ найдём по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Подставим известные значения:
$1 \cdot x_2 = \frac{-260}{17}$
$x_2 = -\frac{260}{17}$
Ответ: $1; -\frac{260}{17}$.