Номер 762, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 762, страница 176.

762. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.

Пусть х и x+1 - два последовательных натуральных числа. По условию задачи составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {\left(2+1\right)}^3-x^3=919 \\ {x}^3+3x^2+3x+1-x^2=919 \\ 3x^2+3x+1-919=0 \\ 3x^2+3x-918=0\mathrm{/}:3 \\ {x}^2+x-306=0 \\ D=1-4·1·\left(-306\right)=1+1224=1225 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{1225}}{2}; x=\frac{-1\pm 35}{2} \\ {x}_1=17; x_2=-18\notin N \end{gathered}$$

17+1=18

Ответ: 17 и 18

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним натуральное число будет $n+1$. По условию задачи, разность их кубов равна 919. Составим и решим уравнение.

Разность кубов большего и меньшего чисел запишется так:

$(n+1)^3 - n^3 = 919$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = 919$

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 919$

Приведем подобные слагаемые:

$3n^2 + 3n + 1 = 919$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3n^2 + 3n + 1 - 919 = 0$

$3n^2 + 3n - 918 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 3:

$n^2 + n - 306 = 0$

Теперь решим полученное приведенное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

$n_1 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

$n_2 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Согласно условию, мы ищем натуральные числа (положительные целые). Корень $n_1 = -18$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, решением является $n = 17$.

Итак, меньшее число равно 17.

Следующее за ним число равно $n+1 = 17+1=18$.

Проверим найденные числа:

$18^3 - 17^3 = 5832 - 4913 = 919$

Разность действительно равна 919.

Ответ: 17 и 18.