Номер 759, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 759, страница 176.

759. Старинная задача. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Пусть х пистолей стоит лошадь, тогда количество процентов, которые потерял некто, равно $\frac{x-24}{x}·100\mathrm{\%}.$ Зная, что стоимость лошади равна количеству потерянных процентов, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{x-24}{x}·100=x \\ 100\left(x-24\right)=x^2 \\ 100x-2400=x^2 \\ {x}^2-100x+2400=0 \\ D={\left(-100\right)}^2-4·1·2400=10000-9600=400 \\ x=\frac{100\pm \sqrt{400}}{2}; x=\frac{100\pm 20}{2} \\ {x}_1=60; x_2=40 \end{gathered}$$

Ответ: 40 или 60 пистолей

Пусть $x$ — это первоначальная стоимость лошади в пистолях, то есть сумма, за которую некто её купил.

По условию задачи, при продаже он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Это означает, что процент потерь равен $x$%.

Сумма потери в пистолях вычисляется как процент от первоначальной стоимости. Сумма потери составляет $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$ пистолей.

Цена продажи получается вычитанием суммы потери из первоначальной стоимости. Лошадь была продана за 24 пистоля. На основании этого можно составить уравнение:

$x - \frac{x^2}{100} = 24$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 100, чтобы избавиться от дроби:

$100x - x^2 = 2400$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{100 + \sqrt{400}}{2} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{100 - \sqrt{400}}{2} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Мы получили два положительных корня, и оба они могут быть решением задачи. Проверим каждый из них:

• Если лошадь купили за 40 пистолей:
  Потеря составила 40% от её стоимости. Сумма потери: $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей.
  Цена продажи: $40 - 16 = 24$ пистоля.
  Это соответствует условию задачи.
• Если лошадь купили за 60 пистолей:
  Потеря составила 60% от её стоимости. Сумма потери: $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей.
  Цена продажи: $60 - 36 = 24$ пистоля.
  Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два верных решения.

Ответ: некто купил лошадь за 40 пистолей или за 60 пистолей.