Страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

754. Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

Пусть 2x; 2x+2; 2x+4 - три последовательных чётных числа. По условию задани составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {\left(2x\right)}^2+{\left(2x+2\right)}^2={\left(2x+4\right)}^2 \\ 4x^2+4x^2+8x+4=4x^2+16x+16 \\ 8x^2+8x+4-4x^2-16x-16=0 \\ 4x^2-8x-12=0\mathrm{/}:4 \\ {x}^2-2x-3=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)=4+12=16 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{2\pm 4}{2} \\ {x}_1=3; x_2=-1 \end{gathered}$$

Если $x=3x\; =\; 3$, то $2x=62x\; =\; 6$; $2x+2=82x+2\; =\; 8$; $2x+4=102x+4\; =\; 10$.

Если $x=-1x\; =\; -1$, то $2x=-22x\; =\; -2$; $2x+2=02x+2\; =\; 0$; $2x+4=22x+4\; =\; 2$

Ответ: -2; 0; 2 или 6; 8; 10

Пусть первое из трёх последовательных чётных чисел равно $2n$, где $n$ — некоторое целое число. Поскольку числа являются последовательными чётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Таким образом, второе число будет равно $2n + 2$, а третье — $2n + 4$.

По условию задачи сказано, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа. На основании этого мы можем составить уравнение:

$(2n)^2 + (2n + 2)^2 = (2n + 4)^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$4n^2 + ( (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 2 + 2^2 ) = ( (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 4 + 4^2 )$

$4n^2 + (4n^2 + 8n + 4) = (4n^2 + 16n + 16)$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$8n^2 + 8n + 4 = 4n^2 + 16n + 16$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$(8n^2 - 4n^2) + (8n - 16n) + (4 - 16) = 0$

$4n^2 - 8n - 12 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 4:

$n^2 - 2n - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли два возможных значения для $n$. Теперь найдём соответствующие им тройки последовательных чётных чисел.

Случай 1: $n = 3$
Первое число: $2n = 2 \cdot 3 = 6$
Второе число: $2n + 2 = 2 \cdot 3 + 2 = 8$
Третье число: $2n + 4 = 2 \cdot 3 + 4 = 10$
Получили тройку чисел: 6, 8, 10.
Проверим выполнение условия: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Условие выполняется.

Случай 2: $n = -1$
Первое число: $2n = 2 \cdot (-1) = -2$
Второе число: $2n + 2 = 2 \cdot (-1) + 2 = 0$
Третье число: $2n + 4 = 2 \cdot (-1) + 4 = 2$
Получили тройку чисел: -2, 0, 2.
Проверим выполнение условия: $(-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$, и $2^2 = 4$. Условие выполняется.

Таким образом, существуют две тройки чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 6, 8, 10 или -2, 0, 2.

755. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.

Пусть $xx$; $x+1x+1$-два последовательных натуральных числа. По условию задачи составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} {\left(x+x+1\right)}^2=x^2+{\left(x+1\right)}^2+112 \\ {\left(2x+1\right)}^2=x^2+x^2+2x+1+112 \\ 4x^2+4x+1-2x^2-2x-113=0 \\ 2x^2+2x-112=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2+x-56=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-56\right)=1+224=225 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{225}}{2}; x=\frac{-1\pm 15}{2} \\ {x}_1=7; x_2=-8\notin N \\ 7+1=8 \end{gathered}$$

Ответ: 7 и 8

Пусть первое из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число будет равно $n + 1$.

Сумма этих чисел равна $n + (n + 1) = 2n + 1$. Квадрат их суммы равен $(2n + 1)^2$.

Сумма их квадратов равна $n^2 + (n + 1)^2$.

По условию задачи, квадрат суммы больше суммы квадратов на 112. Это можно записать в виде уравнения:
$(2n + 1)^2 - (n^2 + (n + 1)^2) = 112$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение.
Сначала раскроем квадрат суммы:
$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$
Теперь раскроем сумму квадратов:
$n^2 + (n + 1)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 2n^2 + 2n + 1$

Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:
$(4n^2 + 4n + 1) - (2n^2 + 2n + 1) = 112$
$4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 1 = 112$

Приведем подобные слагаемые:
$(4n^2 - 2n^2) + (4n - 2n) + (1 - 1) = 112$
$2n^2 + 2n = 112$

Перенесем 112 в левую часть и разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:
$2n^2 + 2n - 112 = 0$
$n^2 + n - 56 = 0$

Мы получили приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Нам нужны два числа, произведение которых равно -56, а сумма равна -1. Эти числа — 7 и -8. Следовательно, корни уравнения:
$n_1 = 7$
$n_2 = -8$

Так как по условию числа должны быть натуральными, корень $n = -8$ не подходит.
Значит, первое число равно 7.

Второе последовательное число равно $n + 1 = 7 + 1 = 8$.

Проверим результат:
Квадрат суммы: $(7 + 8)^2 = 15^2 = 225$.
Сумма квадратов: $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.
Разность: $225 - 113 = 112$.
Условие выполняется.

Ответ: 7 и 8.

756. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть $xx$ см - одна сторона прямоугольника, тогда $\frac{28-2x}{2}=(14-x) \text{см}$ - вторая сторона прямоугольника. По условию задачи составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x^2+{\left(14-x\right)}^2=116 \\ {x}^2+196-28x+x^2-116=0 \\ 2x^2-28x+80=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2-14x+40=0 \\ D={\left(-14\right)}^2-4·1·40=196-160=36 \\ x=\frac{14\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{14\pm 6}{2} \\ {x}_1=10; x_2=4 \end{gathered}$$

Если $x=10x=10$см, то $14-x=14-10=414-x=14-10=4$ (см),

если $x=4x\; =\; 4$см, то $14-x=14-4=1014-x=14-4=10$ (см)

Ответ: 4 см и 10 см

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, периметр прямоугольника равен 28 см. Периметр вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Составим первое уравнение:

$2(a+b) = 28$

Разделив обе части на 2, получим сумму смежных сторон:

$a+b = 14$

Также по условию, сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см?. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$, а площадь квадрата со стороной $b$ равна $b^2$. Составим второе уравнение:

$a^2 + b^2 = 116$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} a+b = 14 \\ a^2 + b^2 = 116 \end{cases} $$

Для решения системы выразим $b$ из первого уравнения:

$b = 14 - a$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (14-a)^2 = 116$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 + (14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2) = 116$

$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 116$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2a^2 - 28a + 196 - 116 = 0$

$2a^2 - 28a + 80 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$a^2 - 14a + 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужно найти два числа, сумма которых равна 14, а произведение равно 40. Этими числами являются 4 и 10.

Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 4$ и $a_2 = 10$.

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $b$, используя выражение $b = 14 - a$:

Если $a_1 = 4$, то $b_1 = 14 - 4 = 10$.

Если $a_2 = 10$, то $b_2 = 14 - 10 = 4$.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 4 см и 10 см.

Проверим найденные значения:

Периметр: $2(4+10) = 2 \cdot 14 = 28$ см. (Верно)

Сумма площадей квадратов: $4^2 + 10^2 = 16 + 100 = 116$ см?. (Верно)

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 10 см.

757. Фотографическая карточка размером 12 × 18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280 см².

Пусть х см ширина рамки, тогда фотокарточка вместе с рамкой имеет размеры (2x+12)см и (2x+18)см. Зная, что площадь фотокарточки вместе с рамкой равна $280 {\text{см}}^2,$ составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \left(2x+12\right)\left(2x+18\right)=280 \\ 4x^2+36x+24x+216-280=0 \\ 4x^2+60x-64=0 \mathrm{/}:14 \\ {x}^2+15x-16=0 \\ 2={\left(-15\right)}^2-4·1·\left(-16\right)=225+64=289 \\ x=\frac{-15\pm \sqrt{289}}{2}; x=\frac{-15\pm 17}{2} \end{gathered}$$

$x_1= 1; x_2=-16$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 1см

Пусть ширина рамки равна $x$ см. Исходные размеры фотографической карточки — 12 см на 18 см. После того как карточку наклеили на лист, вокруг нее образовалась рамка одинаковой ширины. Это означает, что к каждой стороне прямоугольной карточки добавилось по $x$ см с двух сторон (слева и справа для ширины, сверху и снизу для длины). Таким образом, новые размеры листа вместе с рамкой составляют:

• Новая ширина: $12 + x + x = 12 + 2x$ см.
• Новая длина: $18 + x + x = 18 + 2x$ см.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. По условию задачи, общая площадь карточки вместе с рамкой составляет 280 см². Мы можем составить уравнение, приравняв произведение новых размеров к этой площади: $(12 + 2x)(18 + 2x) = 280$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:
$12 \cdot 18 + 12 \cdot 2x + 18 \cdot 2x + 2x \cdot 2x = 280$
$216 + 24x + 36x + 4x^2 = 280$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$4x^2 + 60x + 216 = 280$
$4x^2 + 60x + 216 - 280 = 0$
$4x^2 + 60x - 64 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на 4:
$x^2 + 15x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты: $a = 1$, $b = 15$, $c = -16$.
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
$x_1 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-15 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку ширина рамки ($x$) является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Единственным решением является $x = 1$.

Выполним проверку. Если ширина рамки равна 1 см, то новые размеры листа будут:
Ширина: $12 + 2 \cdot 1 = 14$ см.
Длина: $18 + 2 \cdot 1 = 20$ см.
Площадь: $14 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 280 \text{ см}^2$.
Полученная площадь совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 1 см.

758. Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окружена дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова. Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если известно, что его площадь равна 3,25 м².

Пусть x(м) ширина бордюра, тогра $2,5·4,5=11,25\left({\text{м}}^2\right)$ - площадь клумбы с бордюром, а $\left(2,5-2x\right)\left(4,5-2x\right)$м² - площадь клумбы. Зная, что площадь бордюра равка $3,25{\text{м}}^2$ составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 11,25-\left(2,5-2x\right)\left(4,5-2x\right)=3,25 \\ 11,25-(11,25-5x-9x+4x^2)=3,25 \\ 11,25-11,25+14x-4x^2-3,15=0 \\ -4x^2+14x-3,25=0 \\ D={14}^2-4·\left(-4\right)·\left(-3,25\right)=196-52=144 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{144}}{-8}; x=\frac{-14\pm 12}{-8} \end{gathered}$$

$x_1=\frac{1}{4}; x_2=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$ - не удовлетворяет условию задачи, т.к ширина бордюра должна быть меньше, чем 2,5м

Ответ: $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$ м

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — ширина дернового бордюра в метрах.

По условию, клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого $L_{внеш} = 4,5$ м, а ширина $W_{внеш} = 2,5$ м.

1. Найдем общую площадь этого большого прямоугольника (клумба вместе с бордюром):
$S_{внеш} = L_{внеш} \cdot W_{внеш} = 4,5 \text{ м} \cdot 2,5 \text{ м} = 11,25 \text{ м}^2$.

2. Площадь самого бордюра известна и равна $S_{бордюра} = 3,25 \text{ м}^2$. Площадь бордюра можно также выразить как разность площадей внешнего и внутреннего прямоугольников. Отсюда мы можем найти площадь внутреннего прямоугольника — самой цветочной клумбы ($S_{клумбы}$):
$S_{клумбы} = S_{внеш} - S_{бордюра} = 11,25 \text{ м}^2 - 3,25 \text{ м}^2 = 8 \text{ м}^2$.

3. Теперь выразим размеры самой цветочной клумбы через ширину бордюра $x$. Поскольку бордюр окружает клумбу со всех сторон, его ширина $x$ вычитается дважды из каждого размера большого прямоугольника (с двух противоположных сторон).
Длина клумбы: $L_{клумбы} = L_{внеш} - 2x = 4,5 - 2x$ м.
Ширина клумбы: $W_{клумбы} = W_{внеш} - 2x = 2,5 - 2x$ м.

4. Площадь клумбы равна произведению ее длины на ширину: $S_{клумбы} = L_{клумбы} \cdot W_{клумбы}$. Подставим известные значения и составим уравнение:
$(4,5 - 2x)(2,5 - 2x) = 8$.

5. Решим полученное уравнение. Раскроем скобки:
$4,5 \cdot 2,5 - 4,5 \cdot 2x - 2,5 \cdot 2x + 4x^2 = 8$
$11,25 - 9x - 5x + 4x^2 = 8$
$4x^2 - 14x + 11,25 = 8$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$4x^2 - 14x + 3,25 = 0$.

6. Найдем корни квадратного уравнения. Можно использовать формулу для корней, но для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$16x^2 - 56x + 13 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-56)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 13 = 3136 - 832 = 2304$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + \sqrt{2304}}{2 \cdot 16} = \frac{56 + 48}{32} = \frac{104}{32} = 3,25$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - \sqrt{2304}}{2 \cdot 16} = \frac{56 - 48}{32} = \frac{8}{32} = 0,25$.

7. Проанализируем полученные корни. Ширина бордюра ($x$) не может быть такой, чтобы размеры клумбы стали отрицательными. Ширина внешнего прямоугольника равна 2,5 м, значит, удвоенная ширина бордюра $2x$ должна быть меньше 2,5 м, то есть $x < 1,25$ м.
Корень $x_1 = 3,25$ не удовлетворяет этому условию ($3,25 > 1,25$), поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 0,25$ удовлетворяет условию ($0,25 < 1,25$).

Таким образом, ширина бордюра составляет 0,25 м.

Ответ: 0,25 м.

759. Старинная задача. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Пусть х пистолей стоит лошадь, тогда количество процентов, которые потерял некто, равно $\frac{x-24}{x}·100\mathrm{\%}.$ Зная, что стоимость лошади равна количеству потерянных процентов, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{x-24}{x}·100=x \\ 100\left(x-24\right)=x^2 \\ 100x-2400=x^2 \\ {x}^2-100x+2400=0 \\ D={\left(-100\right)}^2-4·1·2400=10000-9600=400 \\ x=\frac{100\pm \sqrt{400}}{2}; x=\frac{100\pm 20}{2} \\ {x}_1=60; x_2=40 \end{gathered}$$

Ответ: 40 или 60 пистолей

Пусть $x$ — это первоначальная стоимость лошади в пистолях, то есть сумма, за которую некто её купил.

По условию задачи, при продаже он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Это означает, что процент потерь равен $x$%.

Сумма потери в пистолях вычисляется как процент от первоначальной стоимости. Сумма потери составляет $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$ пистолей.

Цена продажи получается вычитанием суммы потери из первоначальной стоимости. Лошадь была продана за 24 пистоля. На основании этого можно составить уравнение:

$x - \frac{x^2}{100} = 24$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 100, чтобы избавиться от дроби:

$100x - x^2 = 2400$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{100 + \sqrt{400}}{2} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{100 - \sqrt{400}}{2} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Мы получили два положительных корня, и оба они могут быть решением задачи. Проверим каждый из них:

• Если лошадь купили за 40 пистолей:
  Потеря составила 40% от её стоимости. Сумма потери: $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей.
  Цена продажи: $40 - 16 = 24$ пистоля.
  Это соответствует условию задачи.
• Если лошадь купили за 60 пистолей:
  Потеря составила 60% от её стоимости. Сумма потери: $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей.
  Цена продажи: $60 - 36 = 24$ пистоля.
  Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два верных решения.

Ответ: некто купил лошадь за 40 пистолей или за 60 пистолей.

760. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок.

Пусть x(м) - ширина прямоугольника (дна ящика), тогда 2x(м) - длина прямоугольника $2x·x=2x^2\left({\text{м}}^2\right)2x\; \backslash cdot\; x\; =\; 2x^2\; (м^2)$ – площадь дна ящика, $\left(0,5x·2+0,5·2x·2\right){\text{м}}^2(0,5x\; \backslash cdot\; 2\; +\; 0,5\; \backslash cdot\; 2x\; \backslash cdot\; 2)\; м^2$ - площадь боковых стенок ящика. Зная, что площадь его дна на 1,08м² меньше площади боковых стенок, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2x^2+1,08=0,5x·2+0,5·2x·2 \\ 2x^2+1,08=x+2x \\ 2x^2-3x+1,08=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·2·1,08=9-8,64=0,36 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{0,36}}{4};x=\frac{3\pm 0,6}{4} \\ {x}_1=0,9;x_2=0,6 \end{gathered}$$

Если x=0,9, то 2*0,9=1,8(м) - длина прямоугольника. Тогда объем ящика равен $0,9·1,8·0,5=0,81\left({\text{м}}^3\right)0,9\; \backslash cdot\; 1,8\; \backslash cdot\; 0,5\; =\; 0,81\; (м^3)$

Если x=0,6, то 2*0,6=1,2(м) - длина прямоугольника. Тогда объем ящика равен $0,6·1,2·0,5=0,36\left({\text{м}}^3\right)0,6\; \backslash cdot\; 1,2\; \backslash cdot\; 0,5\; =\; 0,36\; (м^3)$

Ответ: 0,81м³ или 0,36м³

Пусть $l$ — длина дна ящика (в метрах), а $w$ — его ширина (в метрах). Высота ящика $h = 0.5$ м.

По условию задачи, ширина ящика в 2 раза меньше его длины, что можно записать как:
$w = \frac{l}{2}$

Площадь дна ящика ($S_{дна}$) вычисляется по формуле:
$S_{дна} = l \cdot w = l \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^2}{2}$

Площадь боковых стенок ($S_{бок}$) — это периметр основания, умноженный на высоту. Периметр основания равен $P = 2(l + w)$.
$S_{бок} = P \cdot h = 2(l + w) \cdot h$
Подставим известные значения $w = \frac{l}{2}$ и $h = 0.5$:
$S_{бок} = 2(l + \frac{l}{2}) \cdot 0.5 = 2(\frac{3l}{2}) \cdot 0.5 = 3l \cdot 0.5 = 1.5l$

Известно, что площадь дна на 1,08 м? меньше площади боковых стенок:
$S_{бок} = S_{дна} + 1.08$

Подставим выражения для площадей в это уравнение:
$1.5l = \frac{l^2}{2} + 1.08$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$3l = l^2 + 2.16$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$l^2 - 3l + 2.16 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.16 = 9 - 8.64 = 0.36$
$\sqrt{D} = \sqrt{0.36} = 0.6$

Теперь найдем возможные значения длины $l$:
$l_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 0.6}{2 \cdot 1} = \frac{3.6}{2} = 1.8$
$l_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 0.6}{2 \cdot 1} = \frac{2.4}{2} = 1.2$

Оба корня положительные, значит, существуют два возможных набора размеров для ящика. Найдем объем $V$ для каждого случая. Объем ящика вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.

Случай 1:
Если длина $l = 1.8$ м, то ширина $w = \frac{1.8}{2} = 0.9$ м.
Объем ящика будет равен:
$V_1 = l \cdot w \cdot h = 1.8 \cdot 0.9 \cdot 0.5 = 1.62 \cdot 0.5 = 0.81$ м?.

Случай 2:
Если длина $l = 1.2$ м, то ширина $w = \frac{1.2}{2} = 0.6$ м.
Объем ящика будет равен:
$V_2 = l \cdot w \cdot h = 1.2 \cdot 0.6 \cdot 0.5 = 0.72 \cdot 0.5 = 0.36$ м?.

Поскольку оба полученных решения удовлетворяют всем условиям задачи, существует два возможных ответа.

Ответ: 0,81 м? или 0,36 м?.

761. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объёмом 6080 см³, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона.

Пусть х см ширина прямоугольника, тогда 1,5x - длина прямоугольника. (х-2*8)см - ширина дна коробки, (1,5x-2*8)см - длина дна коробки.

Зная, что объем коробки равен 6080см³, составим и решим уравнение:

(x-16)(1,5x-16)*8=6080

1,5x²-16x-24x+256=760

1,5x²-40x+256-760=0

1,5x²-40x-504=0

$$\begin{gathered} D={\left(-40\right)}^2-4·1,5·\left(-504\right)=1600+3024=4624 \\ x=\frac{40\pm \sqrt{4624}}{3}; x=\frac{40\pm 68}{3} \end{gathered}$$

$x_1=36; x_2=\frac{-28}{3}=-9\frac{1}{3}$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

36*1,5=54 (см)

Ответ: 36см и 54см

Пусть ширина листа картона равна $x$ см. Согласно условию, длина листа в 1,5 раза больше ширины, следовательно, длина равна $1,5x$ см.

Для изготовления открытой коробки по углам листа вырезают квадраты со стороной 8 см. После того как края картона будут загнуты, сторона вырезанного квадрата станет высотой коробки. Таким образом, высота коробки $h$ равна 8 см.

Основание полученной коробки также будет прямоугольным. Его длина будет равна первоначальной длине листа минус две стороны вырезанного квадрата: $l_{коробки} = 1,5x - 2 \cdot 8 = 1,5x - 16$ см.

Аналогично, ширина основания коробки будет равна первоначальной ширине листа минус две стороны вырезанного квадрата: $w_{коробки} = x - 2 \cdot 8 = x - 16$ см.

Объем прямоугольного параллелепипеда (коробки) вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$. Нам известен объем коробки $V = 6080$ см?. Подставим все значения в формулу:

$V = (1,5x - 16) \cdot (x - 16) \cdot 8$

$6080 = (1,5x - 16)(x - 16) \cdot 8$

Разделим обе части уравнения на 8:

$\frac{6080}{8} = (1,5x - 16)(x - 16)$

$760 = (1,5x - 16)(x - 16)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$760 = 1,5x \cdot x - 1,5x \cdot 16 - 16 \cdot x + 16 \cdot 16$

$760 = 1,5x^2 - 24x - 16x + 256$

$760 = 1,5x^2 - 40x + 256$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$1,5x^2 - 40x + 256 - 760 = 0$

$1,5x^2 - 40x - 504 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:

$3x^2 - 80x - 1008 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1008) = 6400 + 12 \cdot 1008 = 6400 + 12096 = 18496$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18496} = 136$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{80 + 136}{2 \cdot 3} = \frac{216}{6} = 36$

$x_2 = \frac{80 - 136}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -9\frac{1}{3}$

Поскольку $x$ представляет собой ширину листа картона, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2$ не подходит.

Таким образом, ширина листа картона равна 36 см.

Найдем длину листа картона:

$1,5 \cdot 36 = 54$ см.

Проверим: размеры основания коробки будут $36-16=20$ см и $54-16=38$ см. Объем: $20 \cdot 38 \cdot 8 = 760 \cdot 8 = 6080$ см?. Решение верное.

Ответ: длина листа картона — 54 см, ширина — 36 см.

762. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.

Пусть х и x+1 - два последовательных натуральных числа. По условию задачи составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {\left(2+1\right)}^3-x^3=919 \\ {x}^3+3x^2+3x+1-x^2=919 \\ 3x^2+3x+1-919=0 \\ 3x^2+3x-918=0\mathrm{/}:3 \\ {x}^2+x-306=0 \\ D=1-4·1·\left(-306\right)=1+1224=1225 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{1225}}{2}; x=\frac{-1\pm 35}{2} \\ {x}_1=17; x_2=-18\notin N \end{gathered}$$

17+1=18

Ответ: 17 и 18

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним натуральное число будет $n+1$. По условию задачи, разность их кубов равна 919. Составим и решим уравнение.

Разность кубов большего и меньшего чисел запишется так:

$(n+1)^3 - n^3 = 919$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = 919$

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 919$

Приведем подобные слагаемые:

$3n^2 + 3n + 1 = 919$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3n^2 + 3n + 1 - 919 = 0$

$3n^2 + 3n - 918 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 3:

$n^2 + n - 306 = 0$

Теперь решим полученное приведенное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

$n_1 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

$n_2 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Согласно условию, мы ищем натуральные числа (положительные целые). Корень $n_1 = -18$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, решением является $n = 17$.

Итак, меньшее число равно 17.

Следующее за ним число равно $n+1 = 17+1=18$.

Проверим найденные числа:

$18^3 - 17^3 = 5832 - 4913 = 919$

Разность действительно равна 919.

Ответ: 17 и 18.

763. Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.

Пусть $2n-12n-1$ и $2n+12n+1$ - два последовательных нечётных натуральных числа.

По условию задачи составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} {\left(2n+1\right)}^3-{\left(2n-1\right)}^3=866 \\ 8n^3+3{\left(2n\right)}^2·1+3·2n·1^2+1- \\ -\left({\left(2n\right)}^3-3·{\left(2n\right)}^2·1+3·2n·1^2-1\right)=866 \\ 8n^3+12n^2+6n+1-8n^3+12n^2-6n+1=866 \\ 24n^2+2-866=0 \\ 24n^2-864=0 \\ 24n^2=864 \\ {n}^2=36 \\ {n}_1=6; n_2=-6\notin N \\ 2n-1=2·6-1=11 \\ 2n+1=2·6+1=13 \end{gathered}$$

Ответ: 11 и 13

Пусть меньшее из двух последовательных нечётных натуральных чисел равно $n$. Поскольку числа нечётные и последовательные, разница между ними равна 2. Следовательно, большее число равно $n+2$.

По условию задачи, разность их кубов равна 866. Составим уравнение, вычитая куб меньшего числа из куба большего:

$(n+2)^3 - n^3 = 866$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 2 + 3 \cdot n \cdot 2^2 + 2^3) - n^3 = 866$

Упростим выражение:

$n^3 + 6n^2 + 12n + 8 - n^3 = 866$

$6n^2 + 12n + 8 = 866$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6n^2 + 12n + 8 - 866 = 0$

$6n^2 + 12n - 858 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на их общий делитель 6:

$n^2 + 2n - 143 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-143) = 4 + 572 = 576$

Найдём корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

$n_1 = \frac{-2 + 24}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-2 - 24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

В условии сказано, что числа являются натуральными, то есть положительными целыми. Корень $n_2 = -13$ не является натуральным числом, поэтому он не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, меньшее из искомых чисел равно $n = 11$.

Тогда большее число равно $n+2 = 11+2 = 13$.

Выполним проверку:

$13^3 - 11^3 = 2197 - 1331 = 866$.

Разность действительно равна 866, значит, числа найдены верно.

Ответ: 11 и 13.

764. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2-5\sqrt{2}x+12=0 \\ D={\left(-5\sqrt{2}\right)}^2-4·1·12=50-48=2 \\ {x}_1=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} \\ {x}_2=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Проверки: $$\begin{gathered} x_1+x_2=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}x\_1+x\_2\; =\; 3\backslash sqrt\{2\}+2\backslash sqrt\{2\}=5\backslash sqrt\{2\} \\ {x}_1·x_2=3\sqrt{2}·2\sqrt{2}=6·2=12x\_1\backslash cdot\; x\_2\; =\; 3\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot\; 2\backslash sqrt\{2\}=6\backslash cdot\; 2=12 \end{gathered}$$

Ответ: $2\sqrt{2}2\backslash sqrt\{2\}$; $3\sqrt{2}3\backslash sqrt\{2\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+2\sqrt{3}x-72=0 \\ D={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-4·1·\left(-72\right)=12+288=300 \\ {x}_1=\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{300}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3} \\ {x}_2=\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{300}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{-12\sqrt{3}}{2}=-6\sqrt{3} \end{gathered}$$

Проверка: $$\begin{gathered} x_1+x_2=4\sqrt{3}+\left(-6\sqrt{3}\right)=-2\sqrt{3}x\_1+x\_2=4\backslash sqrt\{3\}+(-6\backslash sqrt\{3\})=-2\backslash sqrt\{3\} \\ {x}_1{x}_2=4\sqrt{3}·\left(-6\sqrt{3}\right)=-24·3=-72x\_1x\_2=4\backslash sqrt\{3\}\backslash cdot(-6\backslash sqrt\{3\})=-24\backslash cdot3=-72 \end{gathered}$$

Ответ: $-6\sqrt{3}; 4\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{y}^2-6y+7=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·7=36-28=8 \\ {y}_1=\frac{6+\sqrt{8}}{2}; y_2=\frac{6-\sqrt{8}}{2} \end{gathered}$$

Проверка: $$\begin{gathered} y_1+y_2=\frac{6+\sqrt{8}}{2}+\frac{6-\sqrt{8}}{2}=6 \\ {y}_1{y}_2=\frac{6+\sqrt{8}}{2}·\frac{6-\sqrt{8}}{2}=\frac{36-8}{4}=\frac{28}{4}=7 \end{gathered}$$

Ответ: $$\begin{gathered} \frac{6+\sqrt{8}}{2}=\frac{6+2\sqrt{2}}{2}=3+\sqrt{2}\backslash frac\{6+\backslash sqrt\{8\}\}\{2\}=\backslash frac\{6+2\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}=3+\backslash sqrt\{2\} \\ \frac{6-\sqrt{8}}{2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2}\backslash frac\{6-\backslash sqrt\{8\}\}\{2\}=\backslash frac\{6-2\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}=3-\backslash sqrt\{2\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{p}^2-10p+7=0 \\ D={\left(-10\right)}^2-4·1·7=100-28=72 \\ p=\frac{10\pm \sqrt{72}}{2}; p=\frac{10\pm 6\sqrt{2}}{2} \\ p=5\pm 3\sqrt{2} \end{gathered}$$

Проверка: $$\begin{gathered} p_1+p_2=5+3\sqrt{2}+5-3\sqrt{2}=10 \\ {p}_1{p}_2=\left(5+3\sqrt{2}\right)\left(5-3\sqrt{2}\right)=5^2-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2= \\ =25-18=7 \end{gathered}$$

Ответ: $5+3\sqrt{2}; 5-3\sqrt{2}$

а) $x^2 - 5\sqrt{2}x + 12 = 0$

Решим данное приведенное квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-5\sqrt{2}$, $c=12$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = (25 \cdot 2) - 48 = 50 - 48 = 2$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5\sqrt{2}) + \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.

$x_2 = \frac{-(-5\sqrt{2}) - \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем уравнении $p = -5\sqrt{2}$ и $q=12$.

Проверим сумму найденных корней: $x_1 + x_2 = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Сравним с коэффициентом $-p$: $-p = -(-5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2}$. Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется.

Проверим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12$.

Сравним с коэффициентом $q$: $q=12$. Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $2\sqrt{2}; 3\sqrt{2}$.

б) $x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0$

Решим данное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=2\sqrt{3}$, $c=-72$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = (4 \cdot 3) + 288 = 12 + 288 = 300$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$.

$x_1 = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

$x_2 = \frac{-2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

В уравнении $x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0$ коэффициенты $p = 2\sqrt{3}$ и $q=-72$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4\sqrt{3} + (-6\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$.

Сравним с $-p$: $-p = -(2\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Равенство выполняется.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4\sqrt{3} \cdot (-6\sqrt{3}) = -24 \cdot (\sqrt{3})^2 = -24 \cdot 3 = -72$.

Сравним с $q$: $q=-72$. Равенство выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $-6\sqrt{3}; 4\sqrt{3}$.

в) $y^2 - 6y + 7 = 0$

Решим данное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=7$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$y_1 = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{2}$.

$y_2 = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

В уравнении $y^2 - 6y + 7 = 0$ коэффициенты $p = -6$ и $q=7$.

Сумма корней: $y_1 + y_2 = (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$.

Сравним с $-p$: $-p = -(-6) = 6$. Равенство выполняется.

Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.

Сравним с $q$: $q=7$. Равенство выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}$.

г) $p^2 - 10p + 7 = 0$

Решим данное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=7$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 100 - 28 = 72$.

Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

$p_1 = \frac{10 + 6\sqrt{2}}{2} = 5 + 3\sqrt{2}$.

$p_2 = \frac{10 - 6\sqrt{2}}{2} = 5 - 3\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

В уравнении $p^2 - 10p + 7 = 0$ коэффициенты, соответствующие теореме Виета для приведенного уравнения, равны $p_{coef} = -10$ и $q_{coef}=7$.

Сумма корней: $p_1 + p_2 = (5 + 3\sqrt{2}) + (5 - 3\sqrt{2}) = 10$.

Сравним с $-p_{coef}$: $-p_{coef} = -(-10) = 10$. Равенство выполняется.

Произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = (5 + 3\sqrt{2})(5 - 3\sqrt{2}) = 5^2 - (3\sqrt{2})^2 = 25 - (9 \cdot 2) = 25 - 18 = 7$.

Сравним с $q_{coef}$: $q_{coef}=7$. Равенство выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $5 - 3\sqrt{2}; 5 + 3\sqrt{2}$.