Страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

813. Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх по реке. Проплыв 6 км, он бросил вёсла, и через 4 ч 30 мин после отправления из N течение снова отнесло его к пункту N. Зная, что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость течения реки.

Пусть к км/ч - скорость течения реки.

$90\text{м}\mathrm{/}\text{мин}=\frac{0.09\text{км}}{\frac{1}{60}ч}=0,09·60=5,4\text{км/ч}$ - скорость лодки в стоячей воде. Тогда (5,4-x)км/ч - скорость лодки против течения. Зная, что рыболов проплыл от пункта N туди 6км и обратно 6км за 4ч30мин, составим и решии уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{6}{5,4+x}+\frac{6}{x}=4,5 \mathrm{/}·x\left(5,4-x\right) \\ 6x+6\left(5,4-x\right)=4,5x\left(5,4-x\right) \\ 6x+32,4-6x=24,3x-4,5x^2 \\ 4,5x^2-24,3x+32,4=0 \mathrm{/}·10 \\ 45x^2-243x+324=0 \mathrm{/}·9 \\ 5x^2-27x+36=0 \\ D={\left(-27\right)}^2-4·5·36=719-720=9 \\ x=\frac{27\pm \sqrt{9}}{10}; x=\frac{27\pm 3}{10} \\ {x}_1=3; x_2=2,4 \end{gathered}$$

Если $x=3x=3$, то $x·\left(5,4-x\right)=3·\left(5,4-3\right)\ne 0,$

если $x=2,4x\; =\; 2,4$, то $x·\left(5,4-x\right)=2,4·\left(5,4-2,4\right)\ne 0$

Ответ: 2,4 км/ч или 3 км/ч.

Для решения задачи необходимо составить уравнение, связывающее время, скорость и расстояние. Введем переменные и приведем все единицы измерения к единой системе — метры и минуты.

Пусть $x$ м/мин — искомая скорость течения реки.

• Собственная скорость лодки: $v_{л} = 90$ м/мин.
• Расстояние, пройденное в одну сторону: $S = 6$ км $= 6000$ м.
• Общее время в пути: $t_{общ} = 4$ ч $30$ мин $= 4 \times 60 + 30 = 270$ мин.

Движение рыболова можно разделить на два этапа:

1. Путь вверх по реке (против течения).
Рыболов гребет, поэтому его скорость относительно берега равна разности собственной скорости лодки и скорости течения.
Скорость против течения: $v_{против} = v_{л} - v_{теч} = 90 - x$ (м/мин).
Время, затраченное на этот путь: $t_{вверх} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{6000}{90 - x}$ (мин).

2. Путь вниз по реке (по течению).
Рыболов бросил весла, поэтому лодка плывет со скоростью течения реки.
Скорость по течению: $v_{по} = v_{теч} = x$ (м/мин).
Время, затраченное на обратный путь: $t_{вниз} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{6000}{x}$ (мин).

Общее время путешествия — это сумма времени, затраченного на путь вверх и вниз:

$t_{общ} = t_{вверх} + t_{вниз}$

Подставим значения и получим уравнение:

$270 = \frac{6000}{90 - x} + \frac{6000}{x}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 30:

$9 = \frac{200}{90 - x} + \frac{200}{x}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(90 - x)$:

$9 = \frac{200x + 200(90 - x)}{x(90 - x)}$

Умножим обе части на $x(90 - x)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 90$ (что логично, так как скорость течения должна быть положительной и меньше скорости лодки).

$9x(90 - x) = 200x + 200 \cdot 90 - 200x$

$9x(90 - x) = 18000$

Разделим обе части на 9:

$x(90 - x) = 2000$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$90x - x^2 = 2000$

$x^2 - 90x + 2000 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два корня, сумма которых равна 90, а произведение — 2000. Легко подобрать такие числа: 40 и 50.

• $x_1 + x_2 = 40 + 50 = 90$
• $x_1 \cdot x_2 = 40 \cdot 50 = 2000$

Таким образом, мы получили два возможных значения для скорости течения реки: $x_1 = 40$ м/мин и $x_2 = 50$ м/мин. Оба решения являются физически возможными, так как в обоих случаях скорость течения меньше собственной скорости лодки.

Ответ: 40 м/мин или 50 м/мин.

814. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А вниз по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Встреча произошла в 27 км от В. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде 12 км/ч и расстояние от А до В равно 44 км.

Пусть х км/ч - скорость плота (течения), тогда (12-x)км/ч - скорость катера против течения. Зная, что встреча произошла в 27км от В, получим, что плот проплыл 44-27=17км от А за время, на 2ч40мин большее, чем время катера. Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{17}{x}=\frac{27}{12-x}+2\frac{2}{3} \mathrm{/}·3x\left(12-x\right) \\ 17·3\left(12-x\right)=27·3x+8x\left(12-x\right) \\ 612-51x=81x+96x-8x^2 \\ 8x^2-228x+612=0 \mathrm{/}:4 \\ 2x^2-57x+153=0 \\ D={\left(-57\right)}^2-4·2·153=3249-1224=2025 \\ x=\frac{57\pm \sqrt{2025}}{4}; x=\frac{57\pm 45}{4} \\ {x}_1=25,5; x_2=3 \end{gathered}$$

Если x=25,5, то , что не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 3 км/ч

Пусть скорость плота, которая равна скорости течения реки, составляет $x$ км/ч. Плот движется от пристани А вниз по течению, поэтому его скорость относительно берега равна $x$ км/ч.

Катер движется от пристани В навстречу плоту, то есть против течения реки. Собственная скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, следовательно, его скорость против течения составляет $(12 - x)$ км/ч.

Известно, что встреча произошла в 27 км от пристани В. Это означает, что катер прошел расстояние $S_{катера} = 27$ км. Время, затраченное катером на этот путь, равно:

$t_{катера} = \frac{S_{катера}}{v_{катера}} = \frac{27}{12 - x}$ ч.

Общее расстояние между пристанями А и В равно 44 км. Поскольку встреча произошла в 27 км от В, плот к этому моменту прошел расстояние от А до точки встречи:

$S_{плота} = 44 - 27 = 17$ км.

Время, которое плот был в пути, составляет:

$t_{плота} = \frac{S_{плота}}{v_{плота}} = \frac{17}{x}$ ч.

По условию задачи, катер вышел из пристани В через 2 ч 40 мин после отправления плота из пристани А. Это означает, что плот был в пути на 2 ч 40 мин дольше, чем катер. Переведем это время в часы:

$2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3}$ ч.

Теперь мы можем составить уравнение, связывающее время движения плота и катера:

$t_{плота} - t_{катера} = \frac{8}{3}$

Подставим в него выражения для времени:

$\frac{17}{x} - \frac{27}{12 - x} = \frac{8}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Для удобства перенесем слагаемое с отрицательным знаком в правую часть:

$\frac{17}{x} = \frac{27}{12 - x} + \frac{8}{3}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $3(12-x)$:

$\frac{17}{x} = \frac{27 \cdot 3 + 8(12 - x)}{3(12 - x)}$

$\frac{17}{x} = \frac{81 + 96 - 8x}{36 - 3x}$

$\frac{17}{x} = \frac{177 - 8x}{36 - 3x}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$17(36 - 3x) = x(177 - 8x)$

$612 - 51x = 177x - 8x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$8x^2 - 177x - 51x + 612 = 0$

$8x^2 - 228x + 612 = 0$

Все коэффициенты уравнения делятся на 4. Разделим обе части на 4 для упрощения:

$2x^2 - 57x + 153 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-57)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 153 = 3249 - 1224 = 2025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{2025} = 45$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-57) + 45}{2 \cdot 2} = \frac{57 + 45}{4} = \frac{102}{4} = 25.5$

$x_2 = \frac{-(-57) - 45}{2 \cdot 2} = \frac{57 - 45}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Мы получили два возможных значения для скорости течения реки $x$. Однако, чтобы катер мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения. В нашем случае, $12 > x$.

Корень $x_1 = 25.5$ не удовлетворяет этому условию, так как $25.5 > 12$. Этот корень является посторонним для данной задачи.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $12 > 3$. Следовательно, это и есть искомая скорость.

Таким образом, скорость течения реки, а значит и скорость плота, равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

815. Теплоход отправился от пристани А до пристани В, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был задержан на 12 ч и, чтобы прийти в пункт назначения вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода.

Пусть x км/ч - первоначальная скорость теплохода, тогда (x+10)км/ч увеличенная скорость теплохода. Зная, что через 1,5ч после отправления он был задержан на $\frac{1}{2}$ч, найдем расстояния, пройденные со скоростью x км/ч и (x+10)км/ч: 1,5x км и (225-1,5x)км соответственно. Значит, время, потраченное не весь путь равно $\left(1,5+\frac{1}{2}+\frac{215-1,5x}{x+10}\right)(1,5+\backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{215-1,5x\}\{x+10\})$ч

Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} 1,5+\frac{1}{2}+\frac{225-1,5x}{x+10}=\frac{265}{x} \\ 2+\frac{225-152}{x+10}=\frac{225}{x} /·x(x+10) \\ 2\left(x+10\right)x+\left(225-1,5x\right)x=225\left(\mathrm{x}+10\right) \\ 2x^2+20x+225x-1,5x^2=225x+2250 \\ 0,5x^2+20x-2250=0 \mathrm{/}·2 \\ {x}^2+40x-4500=0 \\ D={40}^2-4·1·(-4500)-1600+18000=19600 \\ x=\frac{-40\pm \sqrt{19600}}{2}, x=\frac{-40\pm 140}{2} \end{gathered}$$

$x_1=50; x_2=-90$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 50 км/ч

Решение:

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость теплохода. Тогда плановое время, за которое теплоход должен был пройти весь путь, составляет $t_{план} = \frac{225}{v}$ часов.

Теплоход двигался 1,5 часа с первоначальной скоростью $v$. За это время он прошел расстояние $S_1 = v \cdot 1.5 = 1.5v$ км.

После этого теплоход был задержан на $\frac{1}{2}$ часа (или 0,5 часа).

Оставшееся расстояние, которое ему нужно было пройти, составляет $S_2 = 225 - 1.5v$ км.

Чтобы прибыть вовремя, теплоход увеличил скорость на 10 км/ч. Новая скорость стала $(v + 10)$ км/ч.

Время, затраченное на оставшийся путь с новой скоростью, составляет $t_2 = \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$ часов.

Общее время, которое теплоход затратил на весь путь, складывается из времени движения на первом участке, времени задержки и времени движения на втором участке: $t_{факт} = 1.5 + 0.5 + \frac{225 - 1.5v}{v + 10} = 2 + \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$ часов.

По условию задачи, теплоход прибыл в пункт назначения вовремя, значит, фактическое время равно плановому: $t_{факт} = t_{план}$.

Составим уравнение:

$\frac{225}{v} = 2 + \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$

Перенесем 2 в левую часть:

$\frac{225}{v} - 2 = \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{225 - 2v}{v} = \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $v > 0$:

$(225 - 2v)(v + 10) = v(225 - 1.5v)$

Раскроем скобки:

$225v + 2250 - 2v^2 - 20v = 225v - 1.5v^2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$225v - 225v - 2v^2 + 1.5v^2 - 20v + 2250 = 0$

$-0.5v^2 - 20v + 2250 = 0$

Умножим обе части уравнения на -2, чтобы избавиться от дроби и отрицательного коэффициента при $v^2$:

$v^2 + 40v - 4500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 1600 + 18000 = 19600$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 + 140}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 - 140}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость теплохода равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

816. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые 34 ч ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город В вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Пусть x км/ч - скорость первого автомобиля (и первоначальная скорость второго автомобиля), тогда первый автомобиль потратил на весь путь $\frac{120}{x}\text{ч.}$ Зная, что автомобили пришили в город в одновременно и второй автомобиль ехал $\left(\frac{3}{4}+\frac{15}{60}+\frac{120-{\displaystyle \frac{3}{4}x}}{x+5}\right)\text{ч}$ в город В, можно составить и решить уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4}+\frac{15}{60}+\frac{120-{\displaystyle \frac{3}{4}x}}{x+5}=\frac{120}{x} \\ 1+\frac{120-{\displaystyle \frac{3}{4}x}}{x+5}=\frac{120}{x} /·x(x+5) \\ x\left(x+5\right)+\left(120-\frac{3}{4}x\right)x=120\left(x+5\right) \\ {x}^2+5x+120x-\frac{3}{4}{x}^2=120x+600 \\ \frac{1}{4}{x}^2+125x-120x-600-0 \mathrm{/}·4 \\ {x}^2+20x-2400=0 \\ D={20}^2-4·1·\left(-2400\right)=400+9600-10000 \\ X=\frac{-20\pm \sqrt{10000}}{2}, x=\frac{-20\pm 100}{2} \end{gathered}$$

$x_1=40; x_2=-60$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 40 км/ч

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. Так как второй автомобиль первые $\frac{3}{4}$ ч ехал с той же скоростью, то это и его начальная скорость.

Первый автомобиль ехал всё время с постоянной скоростью. Время, которое он затратил на весь путь, составляет $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{v}$ ч.

Рассмотрим движение второго автомобиля. Его путь можно разделить на три части:

1. Первые $\frac{3}{4}$ часа движения. За это время он проехал расстояние $S_{2,1} = v \cdot \frac{3}{4} = \frac{3v}{4}$ км.

2. Остановка, которая длилась 15 минут. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

3. Оставшийся путь. Расстояние, которое осталось проехать: $S_{2,3} = 120 - S_{2,1} = 120 - \frac{3v}{4}$ км. Скорость на этом участке была на 5 км/ч больше, то есть $v + 5$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{2,3} = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$ ч.

Общее время движения второго автомобиля $t_2$ равно сумме времени всех трех частей:

$t_2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5} = 1 + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Поскольку автомобили прибыли в город В одновременно, их время в пути равно: $t_1 = t_2$.

$\frac{120}{v} = 1 + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Теперь решим это уравнение относительно $v$:

$\frac{120}{v} - 1 = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

$\frac{120 - v}{v} = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$(120 - v)(v + 5) = v(120 - \frac{3v}{4})$

$120v + 600 - v^2 - 5v = 120v - \frac{3v^2}{4}$

$-v^2 + 115v + 600 = 120v - \frac{3v^2}{4}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{3v^2}{4} - v^2 + 115v - 120v + 600 = 0$

$-\frac{v^2}{4} - 5v + 600 = 0$

Умножим уравнение на -4, чтобы упростить его:

$v^2 + 20v - 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

$\sqrt{D} = 100$

Находим корни:

$v_1 = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-20 - 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля составляет 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

817. Автобус проехал расстояние между пунктами А и В, равное 400 км, с некоторой постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт А, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько времени затратил автобус на обратный путь?

Пусть х км/ч скорость автобуса, с которой он ехал из А в В, тогда (x+10)км/ч - скорость автобуса из В в А, с которой он ехал расстояние, равное (400-2х)км. Зная, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{400}{x}=2+\frac{400-2x}{x+10}+\frac{20}{60} \\ \frac{400}{x}=2+\frac{400-2x}{x+10}+\frac{1}{3} /·3x\left(x+10\right) \\ 400·3\left(x+10\right)=2·3x\left(x+10\right)+3x\left(400-2x\right)+x\left(x+10\right) \\ 1200x+12000=6x^2+60x+1200x-6x^2+x^2+10x \\ {x}^2+1270x-1200x-12000=0 \\ {x}^2+70x-12000=0 \\ D=70^2-4·1\left(-12000\right)=4900+48000=52900 \\ x=\frac{-70\pm \sqrt{52900}}{2}; x=\frac{-70\pm 230}{2} \end{gathered}$$

$x_1=80; x_2=-150$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 400:80=5(ч) - время, потраченное из А в B

3) $5-\frac{20}{60}=5-\frac{1}{3}=4\frac{2}{3}=4\text{ч }40\text{мин}$ - время, потраченное на обратный путь

Ответ: 4ч 40мин

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная постоянная скорость автобуса. Расстояние между пунктами А и В равно 400 км.

Время, затраченное на путь из А в В, составляет $t_{АВ} = \frac{400}{v}$ часов.

На обратном пути автобус сначала ехал 2 часа со скоростью $v$, проехав расстояние $S_1 = 2 \cdot v$ км.Оставшееся расстояние составляет $S_2 = 400 - 2v$ км.Затем автобус увеличил скорость на 10 км/ч, и она стала равной $v + 10$ км/ч.Время, затраченное на оставшуюся часть пути, равно $t_2 = \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

Общее время, затраченное на обратный путь из В в А, равно сумме времени на двух участках:$t_{ВА} = 2 + \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

По условию, на обратный путь было затрачено на 20 минут меньше, чем на путь из А в В. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ часа.Следовательно, мы можем составить уравнение:$t_{АВ} - t_{ВА} = \frac{1}{3}$

$\frac{400}{v} - \left(2 + \frac{400 - 2v}{v + 10}\right) = \frac{1}{3}$

Решим это уравнение. Перенесем 2 в правую часть и приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$\frac{400(v + 10) - v(400 - 2v)}{v(v + 10)} = \frac{1}{3} + 2$

$\frac{400v + 4000 - 400v + 2v^2}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$

$\frac{2v^2 + 4000}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:$3(2v^2 + 4000) = 7(v^2 + 10v)$

$6v^2 + 12000 = 7v^2 + 70v$

$v^2 + 70v - 12000 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 4900 + 48000 = 52900$

$\sqrt{D} = \sqrt{52900} = 230$

$v_1 = \frac{-70 - 230}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

$v_2 = \frac{-70 + 230}{2} = \frac{160}{2} = 80$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость автобуса $v = 80$ км/ч.

Теперь найдем время, затраченное на обратный путь. Сначала вычислим время на путь из А в В:$t_{АВ} = \frac{400}{80} = 5$ часов.

Время на обратный путь на 20 минут меньше:$t_{ВА} = 5 \text{ часов} - 20 \text{ минут} = 4 \text{ часа } 40 \text{ минут}$.

Ответ: 4 часа 40 минут.

818. Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.

Пусть х км/ч - первоначальная скорость мотоциклиста, тогда 4x км - расстояние между городами. На обратный путь он потратил 4+0,5=4,5ч. Зная, что первые 100км обратного пути он ехал со скоростью x км/ч, а затем уменьшил её и она стала (x-10)км/ч, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{100}{x}+\frac{42-100}{x-10}=4,5 /x\left(x-10\right) \\ 100(x-10)+(4x-100)x=4,5x(x-10) \\ 100x-1000+4x^2-100x=4,5x^2-45x \\ 4x^2-4,5x^2+45x-1000=0 \\ -0,5x^2+45x-1000=0 /·\left(-2\right) \\ {x}^2-90x+2000=0 \\ D={\left(90\right)}^2-4·1·2000=8100-8000=100 \\ x=\frac{90\pm \sqrt{100}}{2}, x=\frac{90\pm 10}{2} \\ {x}_1=50; x_2=40 \end{gathered}$$

Если x=50, то $x\left(x-10\right)=50·\left(50-10\right)\mathrm{\ne }0x(x-10)\; =\; 50\; \backslash cdot\; (50-10)\backslash neq0$,

если х=40, то $x\left(x-10\right)=40\left(40-10\right)\mathrm{\ne }0x(x-10)=40(40-10)\backslash neq0$

2) 50*4=200(км) или 40*4-160(км)

Ответ: 160 км или 200 км

Пусть $S$ (км) — расстояние между городами, а $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста.

Согласно условию, мотоциклист ехал из одного города в другой 4 часа. Следовательно, расстояние между городами можно выразить через скорость и время:

$S = v \cdot 4$

На обратный путь мотоциклист затратил на 30 минут больше. Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0.5$ ч. Таким образом, время, затраченное на обратный путь, составляет:

$t_{обр} = 4 + 0.5 = 4.5$ ч.

Обратный путь состоял из двух участков. Время, затраченное на первый участок (100 км со скоростью $v$): $t_1 = \frac{100}{v}$ ч. Время, затраченное на второй участок (расстояние $S - 100$ км со скоростью $v - 10$ км/ч): $t_2 = \frac{S - 100}{v - 10}$ ч.

Общее время на обратный путь равно сумме времен, затраченных на эти два участка:

$t_{обр} = t_1 + t_2 = \frac{100}{v} + \frac{S - 100}{v - 10}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$S = 4v$

$4.5 = \frac{100}{v} + \frac{S - 100}{v - 10}$

Подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе:

$4.5 = \frac{100}{v} + \frac{4v - 100}{v - 10}$

Решим полученное уравнение относительно $v$. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $v(v - 10)$:

$4.5 = \frac{100(v - 10) + v(4v - 100)}{v(v - 10)}$

$4.5 = \frac{100v - 1000 + 4v^2 - 100v}{v^2 - 10v}$

$4.5 = \frac{4v^2 - 1000}{v^2 - 10v}$

Умножим обе части уравнения на $(v^2 - 10v)$, при условии, что $v \ne 0$ и $v \ne 10$ (что следует из условий задачи, так как скорость положительна и на втором участке она уменьшается на 10 км/ч):

$4.5(v^2 - 10v) = 4v^2 - 1000$

$4.5v^2 - 45v = 4v^2 - 1000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0.5v^2 - 45v + 1000 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$v^2 - 90v + 2000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2000 = 8100 - 8000 = 100$

Корни уравнения находятся по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v = \frac{90 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{90 \pm 10}{2}$

Отсюда получаем два возможных значения для скорости:

$v_1 = \frac{90 + 10}{2} = 50$ км/ч

$v_2 = \frac{90 - 10}{2} = 40$ км/ч

Оба значения скорости являются допустимыми, так как и сама скорость $v$, и уменьшенная скорость $v-10$ положительны в обоих случаях. Также в обоих случаях расстояние $S$ больше 100 км, что соответствует условию о "первых 100 км". Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: Если первоначальная скорость $v = 50$ км/ч.

Тогда расстояние между городами $S = 4 \cdot v = 4 \cdot 50 = 200$ км.

Проверка: Время на обратном пути равно $\frac{100}{50} + \frac{200-100}{50-10} = 2 + \frac{100}{40} = 2 + 2.5 = 4.5$ ч. Это на 0.5 часа больше, чем 4 часа, что соответствует условию задачи.

Случай 2: Если первоначальная скорость $v = 40$ км/ч.

Тогда расстояние между городами $S = 4 \cdot v = 4 \cdot 40 = 160$ км.

Проверка: Время на обратном пути равно $\frac{100}{40} + \frac{160-100}{40-10} = 2.5 + \frac{60}{30} = 2.5 + 2 = 4.5$ ч. Это также на 0.5 часа больше, чем 4 часа, что соответствует условию задачи.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два возможных значения расстояния.

Ответ: расстояние между городами равно 160 км или 200 км.

819. Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из А на 412 ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние между городами А и В.

Пусть x км/ч - скорость первого автомобиля, тогда (х+10)км/ч - скорость второго автомобиля. Зная, что оба автомобиля прошли расстояние от А до В за 5ч, найдём это расстояние: (x+x+10)·5=(2x+10)·5=(10x+50)км. Так как время, потраченное первым автомобилем на $4\frac{1}{2}\text{ч}$ больше, чем время, потраченное на прохождение 150км вторым автомобилем, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{150}{x+10}+4,5=\frac{10x+50-150}{x} /·x(x+10) \\ 150x+4,5x(x+10)=(10x-100\left)\right(x+10) \\ 150x+4,5x^2+45x=10x^2+100x-100x-1000 \\ 10x^2-1000-4,5x^2-150x-45x=0 \\ 5,5x^2-195x-1000=0 /·10 \\ 55x^2-1950x-10000=0 /:5 \\ 11x^2-390x-2000=0 \\ D={(-390)}^2-4·11·(-2000)= \\ =152100+88000=240100 \end{gathered}$$

$x=\frac{390\pm \sqrt{240100}}{22}x=\backslash frac\{390\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{240100\}\}\{22\}$; $x=\frac{390\pm 490}{22}$

$x_1=40; x_2=\frac{-50}{11}<0$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 40+10=50(км/ч) - скорость второго автомобиля

3) (40+50)·5=450 (км) - расстояние между A и B

Ответ: 450 км

Пусть $v_A$ км/ч – скорость автомобиля, выехавшего из города А, $v_B$ км/ч – скорость автомобиля, выехавшего из города В, а $S$ км – расстояние между городами А и В.

Согласно первому условию, автомобили выехали одновременно и встретились через 5 часов. При движении навстречу друг другу их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей. За 5 часов они вместе преодолели все расстояние $S$. Таким образом, получаем первое уравнение:
$S = (v_A + v_B) \cdot 5$

Известно, что скорость автомобиля из А на 10 км/ч меньше скорости автомобиля из В. Это дает нам второе уравнение:
$v_A = v_B - 10$

Рассмотрим вторую ситуацию: автомобиль из А выехал на $4\frac{1}{2}$ часа ($4,5$ ч) раньше второго, и встреча произошла в 150 км от В.
Это значит, что автомобиль из В проехал 150 км до места встречи. Время, которое он затратил, равно $t_B = \frac{150}{v_B}$ ч.
Автомобиль из А был в пути на 4,5 часа дольше, то есть $t_A = t_B + 4.5 = \frac{150}{v_B} + 4.5$ ч.
Расстояние, которое проехал автомобиль из А, составляет $S_A = S - 150$ км.
Таким образом, $S_A = v_A \cdot t_A$, или:
$S - 150 = v_A \left(\frac{150}{v_B} + 4.5\right)$

Мы получили систему из трех уравнений. Решим ее.
Сначала подставим второе уравнение ($v_A = v_B - 10$) в первое:
$S = ((v_B - 10) + v_B) \cdot 5 = (2v_B - 10) \cdot 5 = 10v_B - 50$

Теперь в третье уравнение $S - 150 = v_A \left(\frac{150}{v_B} + 4.5\right)$ подставим полученное выражение для $S$ и $v_A$:
$(10v_B - 50) - 150 = (v_B - 10) \left(\frac{150}{v_B} + 4.5\right)$
$10v_B - 200 = (v_B - 10) \left(\frac{150 + 4.5v_B}{v_B}\right)$

Умножим обе части на $v_B$ (так как $v_B > 0$):
$v_B(10v_B - 200) = (v_B - 10)(150 + 4.5v_B)$
$10v_B^2 - 200v_B = 150v_B + 4.5v_B^2 - 1500 - 45v_B$
Приведем подобные слагаемые:
$10v_B^2 - 200v_B = 4.5v_B^2 + 105v_B - 1500$
$5.5v_B^2 - 305v_B + 1500 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 2:
$11v_B^2 - 610v_B + 3000 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-610)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 3000 = 372100 - 132000 = 240100$
$\sqrt{D} = \sqrt{240100} = 490$

$v_{B_1} = \frac{610 + 490}{2 \cdot 11} = \frac{1100}{22} = 50$
$v_{B_2} = \frac{610 - 490}{2 \cdot 11} = \frac{120}{22} = \frac{60}{11}$

Проверим полученные значения.
Если $v_B = \frac{60}{11}$, то $v_A = \frac{60}{11} - 10 = \frac{60-110}{11} = -\frac{50}{11}$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не является решением задачи.
Если $v_B = 50$ км/ч, то $v_A = 50 - 10 = 40$ км/ч. Это значение физически осмысленно.

Найдем искомое расстояние $S$, подставив найденные скорости в первое уравнение:
$S = (40 + 50) \cdot 5 = 90 \cdot 5 = 450$ км.

Ответ: расстояние между городами А и В равно 450 км.

820. Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть х км/ч - скорость катера в стоячей воде, тогда (x+2)км/ч - скорость катера по течению, а (x-2)км/ч - скорость катера против течения. Зная, что расстояние от M до N по течению катер проходит за 6ч, найдём это расстояние:

(x+2)*6=(6x+12)км; 6x+12-40=(6x-28)км расстояние, которое прошёл катер однажды по течению и против течения за 9ч.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{6x-28}{x+2}+\frac{6x-28}{x-2}=9 \mathrm{/}·\left(x+2\right)\left(x-2\right) \\ \left(6x-28\right)\left(x-2\right)+\left(6x-28\right)\left(x+2\right)=9\left(x^2-4\right) \\ 6x^2-\bcancel{12x}-28x+\cancel{56}+6x^2+\bcancel{12x}-28x- \\ -\cancel{56}-9x^2+36=0 \\ 3x^2-56x+36=0 \\ D={\left(-56\right)}^2-4·3·36=3136-432=2704 \\ x=\frac{56\pm \sqrt{2704}}{6}; x=\frac{56\pm 52}{6} \\ {x}_1=18; x_2=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{2}{3}x=\backslash frac\{2\}\{3\}$, то $x^2-4={\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4=\frac{4}{9}-4<0,$ что не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 18 км/ч

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость катера в стоячей воде. Скорость течения реки по условию равна 2 км/ч. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. Заметим, что для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Пусть $S$ км — расстояние от пристани $M$ до пристани $N$. Из первого условия задачи известно, что катер проходит это расстояние по течению за 6 часов. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составим первое уравнение: $S = (x + 2) \cdot 6$

Согласно второму условию, катер отправился от $M$ к $N$, но, не дойдя 40 км до пристани $N$, повернул назад и вернулся к пристани $M$. Весь этот путь занял 9 часов. Расстояние, которое катер прошёл по течению (от $M$ до точки разворота), составляет $S - 40$ км. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S - 40}{x + 2}$. Расстояние, которое катер прошёл против течения (от точки разворота обратно к $M$), также равно $S - 40$ км. Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{S - 40}{x - 2}$. Общее время в пути равно сумме $t_1$ и $t_2$, что составляет 9 часов. Составим второе уравнение: $\frac{S - 40}{x + 2} + \frac{S - 40}{x - 2} = 9$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S$ и $x$. Для её решения подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе: $\frac{6(x + 2) - 40}{x + 2} + \frac{6(x + 2) - 40}{x - 2} = 9$

Упростим числитель и вынесем его как общий множитель за скобки: $(6x + 12 - 40) \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} \right) = 9$ $(6x - 28) \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} \right) = 9$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю: $(6x - 28) \left( \frac{(x - 2) + (x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} \right) = 9$ $(6x - 28) \left( \frac{2x}{x^2 - 4} \right) = 9$

Решим полученное уравнение, умножив обе части на знаменатель $(x^2 - 4)$, так как мы уже установили, что $x > 2$, а значит $x^2 - 4 \neq 0$: $(6x - 28) \cdot 2x = 9(x^2 - 4)$ $12x^2 - 56x = 9x^2 - 36$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $12x^2 - 9x^2 - 56x + 36 = 0$ $3x^2 - 56x + 36 = 0$

Найдём корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 3136 - 432 = 2704$ $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$ Вычислим корни: $x_1 = \frac{-(-56) + 52}{2 \cdot 3} = \frac{56 + 52}{6} = \frac{108}{6} = 18$ $x_2 = \frac{-(-56) - 52}{2 \cdot 3} = \frac{56 - 52}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни физическому смыслу задачи, а именно условию $x > 2$. Корень $x_1 = 18$ удовлетворяет условию, так как $18 > 2$. Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{2}{3} < 2$. Этот корень является посторонним, поскольку при такой скорости катер не смог бы двигаться против течения. Таким образом, единственное подходящее решение — 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.