Номер 813, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 813, страница 182.

813. Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх по реке. Проплыв 6 км, он бросил вёсла, и через 4 ч 30 мин после отправления из N течение снова отнесло его к пункту N. Зная, что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость течения реки.

Пусть к км/ч - скорость течения реки.

$90\text{м}\mathrm{/}\text{мин}=\frac{0.09\text{км}}{\frac{1}{60}ч}=0,09·60=5,4\text{км/ч}$ - скорость лодки в стоячей воде. Тогда (5,4-x)км/ч - скорость лодки против течения. Зная, что рыболов проплыл от пункта N туди 6км и обратно 6км за 4ч30мин, составим и решии уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{6}{5,4+x}+\frac{6}{x}=4,5 \mathrm{/}·x\left(5,4-x\right) \\ 6x+6\left(5,4-x\right)=4,5x\left(5,4-x\right) \\ 6x+32,4-6x=24,3x-4,5x^2 \\ 4,5x^2-24,3x+32,4=0 \mathrm{/}·10 \\ 45x^2-243x+324=0 \mathrm{/}·9 \\ 5x^2-27x+36=0 \\ D={\left(-27\right)}^2-4·5·36=719-720=9 \\ x=\frac{27\pm \sqrt{9}}{10}; x=\frac{27\pm 3}{10} \\ {x}_1=3; x_2=2,4 \end{gathered}$$

Если $x=3x=3$, то $x·\left(5,4-x\right)=3·\left(5,4-3\right)\ne 0,$

если $x=2,4x\; =\; 2,4$, то $x·\left(5,4-x\right)=2,4·\left(5,4-2,4\right)\ne 0$

Ответ: 2,4 км/ч или 3 км/ч.

Для решения задачи необходимо составить уравнение, связывающее время, скорость и расстояние. Введем переменные и приведем все единицы измерения к единой системе — метры и минуты.

Пусть $x$ м/мин — искомая скорость течения реки.

• Собственная скорость лодки: $v_{л} = 90$ м/мин.
• Расстояние, пройденное в одну сторону: $S = 6$ км $= 6000$ м.
• Общее время в пути: $t_{общ} = 4$ ч $30$ мин $= 4 \times 60 + 30 = 270$ мин.

Движение рыболова можно разделить на два этапа:

1. Путь вверх по реке (против течения).
Рыболов гребет, поэтому его скорость относительно берега равна разности собственной скорости лодки и скорости течения.
Скорость против течения: $v_{против} = v_{л} - v_{теч} = 90 - x$ (м/мин).
Время, затраченное на этот путь: $t_{вверх} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{6000}{90 - x}$ (мин).

2. Путь вниз по реке (по течению).
Рыболов бросил весла, поэтому лодка плывет со скоростью течения реки.
Скорость по течению: $v_{по} = v_{теч} = x$ (м/мин).
Время, затраченное на обратный путь: $t_{вниз} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{6000}{x}$ (мин).

Общее время путешествия — это сумма времени, затраченного на путь вверх и вниз:

$t_{общ} = t_{вверх} + t_{вниз}$

Подставим значения и получим уравнение:

$270 = \frac{6000}{90 - x} + \frac{6000}{x}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 30:

$9 = \frac{200}{90 - x} + \frac{200}{x}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(90 - x)$:

$9 = \frac{200x + 200(90 - x)}{x(90 - x)}$

Умножим обе части на $x(90 - x)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 90$ (что логично, так как скорость течения должна быть положительной и меньше скорости лодки).

$9x(90 - x) = 200x + 200 \cdot 90 - 200x$

$9x(90 - x) = 18000$

Разделим обе части на 9:

$x(90 - x) = 2000$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$90x - x^2 = 2000$

$x^2 - 90x + 2000 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два корня, сумма которых равна 90, а произведение — 2000. Легко подобрать такие числа: 40 и 50.

• $x_1 + x_2 = 40 + 50 = 90$
• $x_1 \cdot x_2 = 40 \cdot 50 = 2000$

Таким образом, мы получили два возможных значения для скорости течения реки: $x_1 = 40$ м/мин и $x_2 = 50$ м/мин. Оба решения являются физически возможными, так как в обоих случаях скорость течения меньше собственной скорости лодки.

Ответ: 40 м/мин или 50 м/мин.