Номер 811, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 811, страница 181.

811. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.

Пусть х км/ч - скорость течения в реке, тогда (x+1)км/ч - скорость течения в её протоке.

Зная, что моторная лодка имеет собственную скорость (скорость в стоячей воде) 10км/ч, составим и решим уравнение по условию задачи:

$$\begin{gathered} \frac{35}{10-x}+\frac{18}{10-\left(x+1\right)}=8 \\ \frac{35}{10-x}+\frac{18}{9-x}=8 /·(10-x)(9-x) \\ 35\left(9-x\right)+18\left(10-x\right)=8\left(10-x\right)\left(9-x\right) \\ 315-35x+180-18x=8\left(90-10x-9x+x^2\right) \\ 495-53x=720-152x+8x^2 \\ 8x^2-152x+720-495+53x=0 \\ 8x^2-99x+225=0 \\ D={\left(-99\right)}^2-4·8·225=9801-7200=2601 \\ x=\frac{99\pm \sqrt{2601}}{16}; x=\frac{99\pm 51}{16} \\ {x}_1=9,375; x_2=3 \end{gathered}$$

Если x=9,375, то (10-x)(9-9,375)<0, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 3 км/ч

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения в реке.

Согласно условию задачи, скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Это означает, что скорость течения в притоке на 1 км/ч больше, чем в реке, и составляет $(x + 1)$ км/ч.

Собственная скорость лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.

Лодка шла вверх по реке и вверх по притоку, то есть двигалась против течения.

Скорость лодки против течения в реке равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки: $V_1 = 10 - x$ (км/ч).

Скорость лодки против течения в притоке равна разности собственной скорости лодки и скорости течения притока: $V_2 = 10 - (x + 1) = 10 - x - 1 = 9 - x$ (км/ч).

Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения. Поэтому должны выполняться условия: $10 - x > 0$ и $9 - x > 0$, что равносильно $x < 10$ и $x < 9$. Поскольку скорость течения — величина положительная, то $x > 0$. Таким образом, допустимые значения для $x$ лежат в интервале $0 < x < 9$.

Время, которое лодка затратила на путь по реке, вычисляется по формуле $t = S/V$: $t_1 = \frac{35}{10 - x}$ (ч).

Время, которое лодка затратила на путь по притоку: $t_2 = \frac{18}{9 - x}$ (ч).

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 8 часов. Составим уравнение, сложив время движения по реке и по притоку: $t_1 + t_2 = 8$ $\frac{35}{10 - x} + \frac{18}{9 - x} = 8$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(10 - x)(9 - x)$: $\frac{35(9 - x) + 18(10 - x)}{(10 - x)(9 - x)} = 8$

Раскроем скобки в числителе и в знаменателе, а затем умножим обе части уравнения на знаменатель, при условии что $x \neq 9$ и $x \neq 10$: $35(9 - x) + 18(10 - x) = 8(10 - x)(9 - x)$ $315 - 35x + 180 - 18x = 8(90 - 10x - 9x + x^2)$ $495 - 53x = 8(x^2 - 19x + 90)$ $495 - 53x = 8x^2 - 152x + 720$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$: $8x^2 - 152x + 53x + 720 - 495 = 0$ $8x^2 - 99x + 225 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-99)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 225 = 9801 - 32 \cdot 225 = 9801 - 7200 = 2601$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{2601} = 51$.

Вычислим корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 + 51}{2 \cdot 8} = \frac{150}{16} = \frac{75}{8} = 9.375$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 - 51}{2 \cdot 8} = \frac{48}{16} = 3$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ранее установленному ограничению $0 < x < 9$.

Корень $x_1 = 9.375$ не удовлетворяет условию, так как $9.375 > 9$. Этот корень является посторонним, так как при такой скорости течения в реке, скорость течения в притоке была бы $9.375 + 1 = 10.375$ км/ч, что превышает собственную скорость лодки.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $0 < 3 < 9$. Следовательно, это и есть решение задачи.

Ответ: скорость течения в реке равна 3 км/ч.