Номер 805, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 805, страница 181.

805. Найдите значения переменной y, при которых:

а) сумма дробей 6y + 1 и yy - 2 равна их произведению;

б) сумма дробей 2y - 3 и 6y + 3 равна их частному;

в) разность дробей y + 12y - 4 и yy + 4 равна их произведению.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{6}{y+1}+\frac{y}{y-2}=\frac{6}{y+1}·\frac{y}{y-2} \\ \frac{6\left(y-2\right)+y\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)\left(y-2\right)}=\frac{6y}{\left(y+1\right)\left(y-2\right)} \\ \frac{6y-12+y^2+y-6y=0}{\left(y+1\right)\left(y-2\right)}\mathrm{/}·\left(y+1\right)\left(y-2\right) \\ {y}^2+y-12=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-12\right)=1+48=49 \\ y=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}; y=\frac{-1\pm 7}{2} \\ {y}_1=3; y_2=-4 \end{gathered}$$

Если $y=3y=3$, то $\left(y+1\right)\left(y-2\right)=\left(3+1\right)\left(3-2\right)\mathrm{\ne }0(y+1)(y-2)=(3+1)(3-2)\backslash neq\; 0$,

если $y=-4y=-4$, то $\left(y+1\right)\left(y-2\right)=\left(-4+1\right)\left(-4-2\right)\mathrm{\ne }0(y+1)(y-2)=(-4+1)(-4-2)\backslash neq\; 0$

Ответ: -4; 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2}{y-3}+\frac{6}{y+3}=\frac{2}{y-3}:\frac{6}{y+3} \\ \frac{2\left(y+3\right)+6\left(y-3\right)}{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=\frac{2\left(y+3\right)}{6\left(y-3\right)} \\ \frac{2y+6+6y-18}{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=\frac{y+3}{3\left(y-3\right)}=0 \\ \frac{\left(8y-12\right)·3-{\left(y+3\right)}^2}{3\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=0 \mathrm{/}·3\left(y-3\right)\left(y+3\right) \\ 24y-36-y^2-6y-9=0 \\ -y^2+18y-45=0 \\ D=18^2-4·\left(-1\right)·\left(-45\right)=324-180=144 \\ y=\frac{-18\pm \sqrt{144}}{-2}; y=\frac{-18\pm 12}{-2} \\ {y}_1=3; y_2=15 \end{gathered}$$

Если у=3, то ${у}^2-9=3^2-9=0,$

если у=15, по ${у}^2-9={15}^2-9\ne 0$

Ответ: 15

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{y+12}{y-4}-\frac{y}{y+4}=\frac{y+12}{y-4}·\frac{y}{y+4} \\ \frac{\left(y+12\right)\left(y+4\right)-y\left(y-4\right)}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}=\frac{y\left(y+12\right)}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)} \\ \frac{y^2+4y+12y+48-y^2+4y}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}=\frac{y^2+12y}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}=0 \\ \frac{20y+48-y^2-12y}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}=0 /·(y-4)y+4) \\ -y^2+8y+48=0 \\ D=8^2-4(-1)·48=64+192=256 \\ y=\frac{-8\pm \sqrt{256}}{-2}; y=\frac{-8\pm 16}{-2} \\ {y}_1=-4; y_2=12 \end{gathered}$$

Если y=-4, то $y^2-16={(-4)}^2-16=0,$

если y=12, то $y^2-16={12}^2-16\ne 0$

Ответ: 12

а) Согласно условию, сумма дробей $\frac{6}{y+1}$ и $\frac{y}{y-2}$ равна их произведению. Составим и решим уравнение:

$\frac{6}{y+1} + \frac{y}{y-2} = \frac{6}{y+1} \cdot \frac{y}{y-2}$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $y$ определяется условиями $y+1 \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, то есть $y \neq -1$ и $y \neq 2$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю и выполним преобразования:

$\frac{6(y-2) + y(y+1)}{(y+1)(y-2)} = \frac{6y}{(y+1)(y-2)}$

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять их числители:

$6(y-2) + y(y+1) = 6y$

$6y - 12 + y^2 + y = 6y$

$y^2 + 7y - 12 = 6y$

$y^2 + y - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-12$. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 3$, $y_2 = -4$.

Оба найденных значения входят в область допустимых значений, так как $3 \neq -1$, $3 \neq 2$ и $-4 \neq -1$, $-4 \neq 2$.

Ответ: $y = -4; y = 3$.

б) Согласно условию, сумма дробей $\frac{2}{y-3}$ и $\frac{6}{y+3}$ равна их частному. Составим и решим уравнение:

$\frac{2}{y-3} + \frac{6}{y+3} = \frac{2}{y-3} : \frac{6}{y+3}$

ОДЗ: $y-3 \neq 0 \Rightarrow y \neq 3$; $y+3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3$. Также делитель не должен быть равен нулю: $\frac{6}{y+3} \neq 0$, что выполняется для любого $y$ из ОДЗ.

Преобразуем уравнение, заменив деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{2(y+3) + 6(y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2}{y-3} \cdot \frac{y+3}{6}$

$\frac{2y+6+6y-18}{y^2-9} = \frac{2(y+3)}{6(y-3)}$

$\frac{8y-12}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $3(y-3)(y+3)$, чтобы избавиться от дробей (при $y \neq 3$ и $y \neq -3$):

$3(8y-12) = (y+3)(y+3)$

$24y - 36 = y^2 + 6y + 9$

$y^2 - 18y + 45 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 = 12^2$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18+12}{2} = 15$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18-12}{2} = 3$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_2=3$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель $y-3$ обращается в ноль. Корень $y_1=15$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = 15$.

в) Согласно условию, разность дробей $\frac{y+12}{y-4}$ и $\frac{y}{y+4}$ равна их произведению. Составим и решим уравнение:

$\frac{y+12}{y-4} - \frac{y}{y+4} = \frac{y+12}{y-4} \cdot \frac{y}{y+4}$

ОДЗ: $y-4 \neq 0 \Rightarrow y \neq 4$; $y+4 \neq 0 \Rightarrow y \neq -4$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(y+12)(y+4) - y(y-4)}{(y-4)(y+4)} = \frac{y(y+12)}{(y-4)(y+4)}$

Приравняем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ:

$(y+12)(y+4) - y(y-4) = y(y+12)$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 + 4y + 12y + 48) - (y^2 - 4y) = y^2 + 12y$

$y^2 + 16y + 48 - y^2 + 4y = y^2 + 12y$

$20y + 48 = y^2 + 12y$

$y^2 - 8y - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8+16}{2} = 12$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8-16}{2} = -4$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_2=-4$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель $y+4$ обращается в ноль. Корень $y_1=12$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = 12$.