Номер 808, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 808, страница 181.

808. Автомобиль прошёл с некоторой постоянной скоростью путь от А до В длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошёл половину пути с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на 25 ч меньше, чем на путь от А до В. С какой скоростью шёл автомобиль из А в В?

Пусть х км/ч - скорость из А в В, тогда (x+10)км/ч - скорость, с которой он шёл обратно на второй половине пути. Зная, что расстояние между А и В равно 240км, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{240}{x}=\frac{120}{x}+\frac{120}{x+10}+\frac{2}{5} /·5x(x+10) \\ 240·5\left(x+10\right)=120·5\left(x+10\right)+120·5x+2x\left(x+10\right) \\ 1200\left(x+10\right)=600\left(x+10\right)+600x+2x^2+20x \\ 2x^2+20x+600x+16000+600x- \\ -1200x-12000=0 \\ 2x^2+20x-6000=0 \mathrm{/}:12 \\ {x}^2+10x-3000=0 \\ D=10^2-4·1·\left(-3000\right)=100+12000=12100 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{12100}}{2}; x=\frac{-10\pm 110}{2} \end{gathered}$$

$x_1= 50; {х}_2=-60$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 50 км/ч

Пусть $v$ км/ч — постоянная скорость автомобиля на пути из А в В. Расстояние равно 240 км.

Время, которое автомобиль затратил на путь из А в В, составляет $t_1 = \frac{240}{v}$ часов.

На обратном пути автомобиль прошел первую половину пути, равную $120$ км, с той же скоростью $v$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, равно $t_{2a} = \frac{120}{v}$ часов.

Вторую половину пути, также равную $120$ км, он прошел со скоростью, увеличенной на 10 км/ч, то есть $v + 10$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, равно $t_{2b} = \frac{120}{v + 10}$ часов.

Общее время на обратный путь составляет $t_2 = t_{2a} + t_{2b} = \frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10}$ часов.

Из условия известно, что на обратный путь было затрачено на $\frac{2}{5}$ часа меньше, чем на путь из А в В. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 - t_2 = \frac{2}{5}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{240}{v} - \left(\frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10}\right) = \frac{2}{5}$

Раскроем скобки и упростим левую часть:

$\frac{240}{v} - \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = \frac{2}{5}$

$\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = \frac{2}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$:

$\frac{120(v + 10) - 120v}{v(v + 10)} = \frac{2}{5}$

$\frac{120v + 1200 - 120v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

$\frac{1200}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

Теперь решим получившуюся пропорцию:

$2(v^2 + 10v) = 1200 \cdot 5$

$2(v^2 + 10v) = 6000$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 10v = 3000$

Перенесем 3000 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Теперь найдем значения $v$:

$v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Таким образом, скорость автомобиля из А в В равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.