Номер 809, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 809, страница 181.

809. Расстояние от А до В, равное 400 км, поезд прошёл с некоторой постоянной скоростью; 25 обратного пути из В в А он шёл с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч. Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю дорогу было затрачено 11 ч.

1) $400·\frac{2}{5}=160400\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\}\{5\}\; =\; 160$ (км) - расстояние на обратном пути, которое поезд шёл с первоначальной скоростью;

2) $400-160-240400\; -\; 160\; -\; 240$ (км) - расстояние, которое поезд шел с уменьшенной скоростью

3) Пусть x км/ч - скорость поезда на пути из A в B, тогда $\left(x-20\right)(x-20)$км/ч - скорость поезда на последнем участке пути. Зная, что на всю дорогу он затратил 11ч, составим и решим уравнение.

$$\begin{gathered} \frac{400}{x}+\frac{160}{x}+\frac{240}{x-20}=11 \\ \frac{560}{x}+\frac{240}{x-20}=11 /·x\left(x-20\right) \\ 560\left(x-20\right)+240x=11x\left(x-20\right) \\ 560x-11200+240x-11x^2+220x=0 \\ -11x^2+1020x-11200=0 \\ -11x^2+2·510x-11200=0 \\ {D}_1=510^2-\left(-11\right)·\left(-11200\right)=260100-123200= \\ =136900 \\ x=\frac{-510\pm \sqrt{136900}}{-11}=\frac{-510\pm 370}{-11} \end{gathered}$$

$x_1=\frac{-140}{-11}=12\frac{8}{11}$ - не удовлетворяет условию задачи, т.к. $x-20>0, x>20$

$x_2=80$

80-20=60 (км/ч) - скорость на последнем участке пути.

Ответ: 60 км/ч

Пусть $v$ км/ч — первоначальная постоянная скорость поезда. Тогда время, затраченное на путь из A в B, составляет $t_1 = \frac{400}{v}$ часов.

Обратный путь из B в A состоит из двух участков.

1. Первый участок обратного пути:

Поезд прошёл $\frac{2}{5}$ всего расстояния. Найдем длину этого участка:$S_2 = 400 \cdot \frac{2}{5} = 160$ км.Скорость на этом участке была такой же, как и на пути из A в B, то есть $v$ км/ч.Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{160}{v}$ часов.

2. Второй (последний) участок обратного пути:

Оставшееся расстояние:$S_3 = 400 - 160 = 240$ км.На этом участке поезд уменьшил скорость на 20 км/ч, поэтому его скорость стала $(v - 20)$ км/ч.Время, затраченное на этот участок: $t_3 = \frac{240}{v - 20}$ часов.

По условию, на всю дорогу было затрачено 11 часов. Составим уравнение, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 + t_3 = 11$

$\frac{400}{v} + \frac{160}{v} + \frac{240}{v - 20} = 11$

Сложим первые две дроби:

$\frac{560}{v} + \frac{240}{v - 20} = 11$

Приведём дроби к общему знаменателю $v(v - 20)$. Учтём, что $v > 0$ и $v - 20 > 0$, следовательно $v > 20$.

$\frac{560(v - 20) + 240v}{v(v - 20)} = 11$

$560(v - 20) + 240v = 11v(v - 20)$

$560v - 11200 + 240v = 11v^2 - 220v$

$800v - 11200 = 11v^2 - 220v$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$11v^2 - 220v - 800v + 11200 = 0$

$11v^2 - 1020v + 11200 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1020)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 11200 = 1040400 - 492800 = 547600$

$\sqrt{D} = \sqrt{547600} = 740$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1020 + 740}{2 \cdot 11} = \frac{1760}{22} = 80$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1020 - 740}{2 \cdot 11} = \frac{280}{22} = \frac{140}{11}$

Проверим корни на соответствие условию $v > 20$.

$v_1 = 80$ км/ч. Этот корень удовлетворяет условию $80 > 20$.

$v_2 = \frac{140}{11} \approx 12.7$ км/ч. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $12.7 < 20$, и в этом случае скорость на последнем участке $(v-20)$ была бы отрицательной, что невозможно.

Таким образом, первоначальная скорость поезда была $v = 80$ км/ч.

Вопрос задачи — найти скорость поезда на последнем участке. Эта скорость равна $(v - 20)$ км/ч.

$80 - 20 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.