Номер 816, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 816, страница 182.

816. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые 34 ч ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город В вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Пусть x км/ч - скорость первого автомобиля (и первоначальная скорость второго автомобиля), тогда первый автомобиль потратил на весь путь $\frac{120}{x}\text{ч.}$ Зная, что автомобили пришили в город в одновременно и второй автомобиль ехал $\left(\frac{3}{4}+\frac{15}{60}+\frac{120-{\displaystyle \frac{3}{4}x}}{x+5}\right)\text{ч}$ в город В, можно составить и решить уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4}+\frac{15}{60}+\frac{120-{\displaystyle \frac{3}{4}x}}{x+5}=\frac{120}{x} \\ 1+\frac{120-{\displaystyle \frac{3}{4}x}}{x+5}=\frac{120}{x} /·x(x+5) \\ x\left(x+5\right)+\left(120-\frac{3}{4}x\right)x=120\left(x+5\right) \\ {x}^2+5x+120x-\frac{3}{4}{x}^2=120x+600 \\ \frac{1}{4}{x}^2+125x-120x-600-0 \mathrm{/}·4 \\ {x}^2+20x-2400=0 \\ D={20}^2-4·1·\left(-2400\right)=400+9600-10000 \\ X=\frac{-20\pm \sqrt{10000}}{2}, x=\frac{-20\pm 100}{2} \end{gathered}$$

$x_1=40; x_2=-60$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 40 км/ч

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. Так как второй автомобиль первые $\frac{3}{4}$ ч ехал с той же скоростью, то это и его начальная скорость.

Первый автомобиль ехал всё время с постоянной скоростью. Время, которое он затратил на весь путь, составляет $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{v}$ ч.

Рассмотрим движение второго автомобиля. Его путь можно разделить на три части:

1. Первые $\frac{3}{4}$ часа движения. За это время он проехал расстояние $S_{2,1} = v \cdot \frac{3}{4} = \frac{3v}{4}$ км.

2. Остановка, которая длилась 15 минут. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

3. Оставшийся путь. Расстояние, которое осталось проехать: $S_{2,3} = 120 - S_{2,1} = 120 - \frac{3v}{4}$ км. Скорость на этом участке была на 5 км/ч больше, то есть $v + 5$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{2,3} = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$ ч.

Общее время движения второго автомобиля $t_2$ равно сумме времени всех трех частей:

$t_2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5} = 1 + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Поскольку автомобили прибыли в город В одновременно, их время в пути равно: $t_1 = t_2$.

$\frac{120}{v} = 1 + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Теперь решим это уравнение относительно $v$:

$\frac{120}{v} - 1 = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

$\frac{120 - v}{v} = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$(120 - v)(v + 5) = v(120 - \frac{3v}{4})$

$120v + 600 - v^2 - 5v = 120v - \frac{3v^2}{4}$

$-v^2 + 115v + 600 = 120v - \frac{3v^2}{4}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{3v^2}{4} - v^2 + 115v - 120v + 600 = 0$

$-\frac{v^2}{4} - 5v + 600 = 0$

Умножим уравнение на -4, чтобы упростить его:

$v^2 + 20v - 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

$\sqrt{D} = 100$

Находим корни:

$v_1 = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-20 - 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля составляет 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.