Номер 814, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 814, страница 182.

814. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А вниз по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Встреча произошла в 27 км от В. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде 12 км/ч и расстояние от А до В равно 44 км.

Пусть х км/ч - скорость плота (течения), тогда (12-x)км/ч - скорость катера против течения. Зная, что встреча произошла в 27км от В, получим, что плот проплыл 44-27=17км от А за время, на 2ч40мин большее, чем время катера. Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{17}{x}=\frac{27}{12-x}+2\frac{2}{3} \mathrm{/}·3x\left(12-x\right) \\ 17·3\left(12-x\right)=27·3x+8x\left(12-x\right) \\ 612-51x=81x+96x-8x^2 \\ 8x^2-228x+612=0 \mathrm{/}:4 \\ 2x^2-57x+153=0 \\ D={\left(-57\right)}^2-4·2·153=3249-1224=2025 \\ x=\frac{57\pm \sqrt{2025}}{4}; x=\frac{57\pm 45}{4} \\ {x}_1=25,5; x_2=3 \end{gathered}$$

Если x=25,5, то , что не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 3 км/ч

Пусть скорость плота, которая равна скорости течения реки, составляет $x$ км/ч. Плот движется от пристани А вниз по течению, поэтому его скорость относительно берега равна $x$ км/ч.

Катер движется от пристани В навстречу плоту, то есть против течения реки. Собственная скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, следовательно, его скорость против течения составляет $(12 - x)$ км/ч.

Известно, что встреча произошла в 27 км от пристани В. Это означает, что катер прошел расстояние $S_{катера} = 27$ км. Время, затраченное катером на этот путь, равно:

$t_{катера} = \frac{S_{катера}}{v_{катера}} = \frac{27}{12 - x}$ ч.

Общее расстояние между пристанями А и В равно 44 км. Поскольку встреча произошла в 27 км от В, плот к этому моменту прошел расстояние от А до точки встречи:

$S_{плота} = 44 - 27 = 17$ км.

Время, которое плот был в пути, составляет:

$t_{плота} = \frac{S_{плота}}{v_{плота}} = \frac{17}{x}$ ч.

По условию задачи, катер вышел из пристани В через 2 ч 40 мин после отправления плота из пристани А. Это означает, что плот был в пути на 2 ч 40 мин дольше, чем катер. Переведем это время в часы:

$2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3}$ ч.

Теперь мы можем составить уравнение, связывающее время движения плота и катера:

$t_{плота} - t_{катера} = \frac{8}{3}$

Подставим в него выражения для времени:

$\frac{17}{x} - \frac{27}{12 - x} = \frac{8}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Для удобства перенесем слагаемое с отрицательным знаком в правую часть:

$\frac{17}{x} = \frac{27}{12 - x} + \frac{8}{3}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $3(12-x)$:

$\frac{17}{x} = \frac{27 \cdot 3 + 8(12 - x)}{3(12 - x)}$

$\frac{17}{x} = \frac{81 + 96 - 8x}{36 - 3x}$

$\frac{17}{x} = \frac{177 - 8x}{36 - 3x}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$17(36 - 3x) = x(177 - 8x)$

$612 - 51x = 177x - 8x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$8x^2 - 177x - 51x + 612 = 0$

$8x^2 - 228x + 612 = 0$

Все коэффициенты уравнения делятся на 4. Разделим обе части на 4 для упрощения:

$2x^2 - 57x + 153 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-57)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 153 = 3249 - 1224 = 2025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{2025} = 45$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-57) + 45}{2 \cdot 2} = \frac{57 + 45}{4} = \frac{102}{4} = 25.5$

$x_2 = \frac{-(-57) - 45}{2 \cdot 2} = \frac{57 - 45}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Мы получили два возможных значения для скорости течения реки $x$. Однако, чтобы катер мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения. В нашем случае, $12 > x$.

Корень $x_1 = 25.5$ не удовлетворяет этому условию, так как $25.5 > 12$. Этот корень является посторонним для данной задачи.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $12 > 3$. Следовательно, это и есть искомая скорость.

Таким образом, скорость течения реки, а значит и скорость плота, равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.