Номер 819, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 819, страница 182.

819. Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из А на 412 ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние между городами А и В.

Пусть x км/ч - скорость первого автомобиля, тогда (х+10)км/ч - скорость второго автомобиля. Зная, что оба автомобиля прошли расстояние от А до В за 5ч, найдём это расстояние: (x+x+10)·5=(2x+10)·5=(10x+50)км. Так как время, потраченное первым автомобилем на $4\frac{1}{2}\text{ч}$ больше, чем время, потраченное на прохождение 150км вторым автомобилем, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{150}{x+10}+4,5=\frac{10x+50-150}{x} /·x(x+10) \\ 150x+4,5x(x+10)=(10x-100\left)\right(x+10) \\ 150x+4,5x^2+45x=10x^2+100x-100x-1000 \\ 10x^2-1000-4,5x^2-150x-45x=0 \\ 5,5x^2-195x-1000=0 /·10 \\ 55x^2-1950x-10000=0 /:5 \\ 11x^2-390x-2000=0 \\ D={(-390)}^2-4·11·(-2000)= \\ =152100+88000=240100 \end{gathered}$$

$x=\frac{390\pm \sqrt{240100}}{22}x=\backslash frac\{390\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{240100\}\}\{22\}$; $x=\frac{390\pm 490}{22}$

$x_1=40; x_2=\frac{-50}{11}<0$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 40+10=50(км/ч) - скорость второго автомобиля

3) (40+50)·5=450 (км) - расстояние между A и B

Ответ: 450 км

Пусть $v_A$ км/ч – скорость автомобиля, выехавшего из города А, $v_B$ км/ч – скорость автомобиля, выехавшего из города В, а $S$ км – расстояние между городами А и В.

Согласно первому условию, автомобили выехали одновременно и встретились через 5 часов. При движении навстречу друг другу их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей. За 5 часов они вместе преодолели все расстояние $S$. Таким образом, получаем первое уравнение:
$S = (v_A + v_B) \cdot 5$

Известно, что скорость автомобиля из А на 10 км/ч меньше скорости автомобиля из В. Это дает нам второе уравнение:
$v_A = v_B - 10$

Рассмотрим вторую ситуацию: автомобиль из А выехал на $4\frac{1}{2}$ часа ($4,5$ ч) раньше второго, и встреча произошла в 150 км от В.
Это значит, что автомобиль из В проехал 150 км до места встречи. Время, которое он затратил, равно $t_B = \frac{150}{v_B}$ ч.
Автомобиль из А был в пути на 4,5 часа дольше, то есть $t_A = t_B + 4.5 = \frac{150}{v_B} + 4.5$ ч.
Расстояние, которое проехал автомобиль из А, составляет $S_A = S - 150$ км.
Таким образом, $S_A = v_A \cdot t_A$, или:
$S - 150 = v_A \left(\frac{150}{v_B} + 4.5\right)$

Мы получили систему из трех уравнений. Решим ее.
Сначала подставим второе уравнение ($v_A = v_B - 10$) в первое:
$S = ((v_B - 10) + v_B) \cdot 5 = (2v_B - 10) \cdot 5 = 10v_B - 50$

Теперь в третье уравнение $S - 150 = v_A \left(\frac{150}{v_B} + 4.5\right)$ подставим полученное выражение для $S$ и $v_A$:
$(10v_B - 50) - 150 = (v_B - 10) \left(\frac{150}{v_B} + 4.5\right)$
$10v_B - 200 = (v_B - 10) \left(\frac{150 + 4.5v_B}{v_B}\right)$

Умножим обе части на $v_B$ (так как $v_B > 0$):
$v_B(10v_B - 200) = (v_B - 10)(150 + 4.5v_B)$
$10v_B^2 - 200v_B = 150v_B + 4.5v_B^2 - 1500 - 45v_B$
Приведем подобные слагаемые:
$10v_B^2 - 200v_B = 4.5v_B^2 + 105v_B - 1500$
$5.5v_B^2 - 305v_B + 1500 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 2:
$11v_B^2 - 610v_B + 3000 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-610)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 3000 = 372100 - 132000 = 240100$
$\sqrt{D} = \sqrt{240100} = 490$

$v_{B_1} = \frac{610 + 490}{2 \cdot 11} = \frac{1100}{22} = 50$
$v_{B_2} = \frac{610 - 490}{2 \cdot 11} = \frac{120}{22} = \frac{60}{11}$

Проверим полученные значения.
Если $v_B = \frac{60}{11}$, то $v_A = \frac{60}{11} - 10 = \frac{60-110}{11} = -\frac{50}{11}$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не является решением задачи.
Если $v_B = 50$ км/ч, то $v_A = 50 - 10 = 40$ км/ч. Это значение физически осмысленно.

Найдем искомое расстояние $S$, подставив найденные скорости в первое уравнение:
$S = (40 + 50) \cdot 5 = 90 \cdot 5 = 450$ км.

Ответ: расстояние между городами А и В равно 450 км.