Номер 826, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 826, страница 183.

826. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?

Пусть х кг - первоначальная масса сплава, тогда (x-6)кг - масса меди в сплаве и $\frac{x-6}{x}·100\mathrm{\%}\backslash frac\{x-6\}\{x\}\; \backslash cdot\; 100\backslash \%$ содержится меди в сплаве. После того как добавили 13кг цинка, масса сплава равна (x+13)кг и содержание меди в новом сплаве равно $\frac{x-6}{x+13}·100\mathrm{\%}.$ Зная, что содержание меди в сплаве понизилось на 26%, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{x-6}{x}·100-\frac{x-6}{x+13}·100=26 \\ 100\left(\frac{x-6}{x}-\frac{x-6}{x+13}\right)=26 \\ \frac{x-6}{x}-\frac{x-6}{x+13}=\frac{26}{100} \\ \frac{x-6}{x}-\frac{x-6}{x+13}=\frac{13}{50}\mathrm{/}·50x\left(x+13\right) \\ 50\left(x-6\right)\left(x+13\right)-50\left(x-6\right)x=13x\left(x+13\right) \\ 50\left(\left(x^2+13x-6x-78\right)-\left(x^2-6x\right)\right)=13x^2+169x \\ 50\left(x^2+7x-78-x^2+6x\right)=13x^2+169x \\ 50\left(13x-78\right)=13x^2+169x \\ 13x^2+169x-650x+3900=0 \\ 13x^2-481x+3900=0 \\ {x}^2-37x+300=0 \\ D={\left(-37\right)}^2-4·1·300=1369-1200=169 \\ x=\frac{37\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{37\pm 13}{2} \\ {x}_1=25; x_2=12 \end{gathered}$$

Если x=25, то x(x+13)=25(25+13)≠0,

Если x=12, то x(x+13)=12(12+13)≠0

Ответ: 25кг или 12кг

Пусть первоначальная масса меди в сплаве равна $x$ кг. Тогда, учитывая, что в сплаве было 6 кг цинка, первоначальная масса всего сплава составляет $M_1 = x + 6$ кг.

Доля (концентрация) меди в первоначальном сплаве равна: $$ C_1 = \frac{\text{масса меди}}{\text{масса сплава}} = \frac{x}{x+6} $$

После того как к сплаву добавили 13 кг цинка, масса меди осталась прежней ($x$ кг), а масса всего сплава увеличилась. Новая масса сплава: $$ M_2 = (x + 6) + 13 = x + 19 \text{ кг} $$

Новая доля меди в сплаве стала равна: $$ C_2 = \frac{x}{x+19} $$

По условию задачи, содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Это означает, что разница между начальной и конечной концентрациями составляет 0,26.

Составление и решение уравнения

На основе условия задачи составим уравнение: $$ C_1 - C_2 = 0.26 $$ $$ \frac{x}{x+6} - \frac{x}{x+19} = 0.26 $$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{x(x+19) - x(x+6)}{(x+6)(x+19)} = 0.26 $$ Упростим числитель: $$ \frac{x^2 + 19x - x^2 - 6x}{x^2 + 25x + 114} = 0.26 $$ $$ \frac{13x}{x^2 + 25x + 114} = 0.26 $$

Заменим десятичную дробь 0,26 на обыкновенную: $0.26 = \frac{26}{100} = \frac{13}{50}$. $$ \frac{13x}{x^2 + 25x + 114} = \frac{13}{50} $$

Так как масса меди $x$ должна быть положительной ($x > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на 13: $$ \frac{x}{x^2 + 25x + 114} = \frac{1}{50} $$

Применим правило пропорции (перекрестное умножение): $$ 50x = x^2 + 25x + 114 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + 25x - 50x + 114 = 0 $$ $$ x^2 - 25x + 114 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 114 = 625 - 456 = 169 = 13^2 $$ Корни уравнения: $$ x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 13}{2} = \frac{38}{2} = 19 $$ $$ x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$

Нахождение первоначальной массы сплава

Мы получили два положительных значения для массы меди, $x_1=19$ кг и $x_2=6$ кг. Оба значения являются физически возможными, поэтому задача имеет два решения. Найдем первоначальную массу сплава для каждого случая.

1. Если начальная масса меди была 19 кг:
Первоначальная масса сплава $M_1 = x + 6 = 19 + 6 = 25$ кг.
Проверка: Начальная концентрация меди $C_1 = \frac{19}{25} = 0.76$ (76%). Новая концентрация $C_2 = \frac{19}{19+19} = 0.5$ (50%). Понижение составило $76\% - 50\% = 26\%$.

2. Если начальная масса меди была 6 кг:
Первоначальная масса сплава $M_1 = x + 6 = 6 + 6 = 12$ кг.
Проверка: Начальная концентрация меди $C_1 = \frac{6}{12} = 0.5$ (50%). Новая концентрация $C_2 = \frac{6}{6+19} = \frac{6}{25} = 0.24$ (24%). Понижение составило $50\% - 24\% = 26\%$.

Оба случая удовлетворяют условию задачи.

Ответ: первоначальная масса сплава была 25 кг или 12 кг.