Номер 820, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 820, страница 182.

820. Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть х км/ч - скорость катера в стоячей воде, тогда (x+2)км/ч - скорость катера по течению, а (x-2)км/ч - скорость катера против течения. Зная, что расстояние от M до N по течению катер проходит за 6ч, найдём это расстояние:

(x+2)*6=(6x+12)км; 6x+12-40=(6x-28)км расстояние, которое прошёл катер однажды по течению и против течения за 9ч.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{6x-28}{x+2}+\frac{6x-28}{x-2}=9 \mathrm{/}·\left(x+2\right)\left(x-2\right) \\ \left(6x-28\right)\left(x-2\right)+\left(6x-28\right)\left(x+2\right)=9\left(x^2-4\right) \\ 6x^2-\bcancel{12x}-28x+\cancel{56}+6x^2+\bcancel{12x}-28x- \\ -\cancel{56}-9x^2+36=0 \\ 3x^2-56x+36=0 \\ D={\left(-56\right)}^2-4·3·36=3136-432=2704 \\ x=\frac{56\pm \sqrt{2704}}{6}; x=\frac{56\pm 52}{6} \\ {x}_1=18; x_2=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{2}{3}x=\backslash frac\{2\}\{3\}$, то $x^2-4={\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4=\frac{4}{9}-4<0,$ что не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 18 км/ч

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость катера в стоячей воде. Скорость течения реки по условию равна 2 км/ч. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. Заметим, что для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Пусть $S$ км — расстояние от пристани $M$ до пристани $N$. Из первого условия задачи известно, что катер проходит это расстояние по течению за 6 часов. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составим первое уравнение: $S = (x + 2) \cdot 6$

Согласно второму условию, катер отправился от $M$ к $N$, но, не дойдя 40 км до пристани $N$, повернул назад и вернулся к пристани $M$. Весь этот путь занял 9 часов. Расстояние, которое катер прошёл по течению (от $M$ до точки разворота), составляет $S - 40$ км. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S - 40}{x + 2}$. Расстояние, которое катер прошёл против течения (от точки разворота обратно к $M$), также равно $S - 40$ км. Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{S - 40}{x - 2}$. Общее время в пути равно сумме $t_1$ и $t_2$, что составляет 9 часов. Составим второе уравнение: $\frac{S - 40}{x + 2} + \frac{S - 40}{x - 2} = 9$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S$ и $x$. Для её решения подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе: $\frac{6(x + 2) - 40}{x + 2} + \frac{6(x + 2) - 40}{x - 2} = 9$

Упростим числитель и вынесем его как общий множитель за скобки: $(6x + 12 - 40) \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} \right) = 9$ $(6x - 28) \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} \right) = 9$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю: $(6x - 28) \left( \frac{(x - 2) + (x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} \right) = 9$ $(6x - 28) \left( \frac{2x}{x^2 - 4} \right) = 9$

Решим полученное уравнение, умножив обе части на знаменатель $(x^2 - 4)$, так как мы уже установили, что $x > 2$, а значит $x^2 - 4 \neq 0$: $(6x - 28) \cdot 2x = 9(x^2 - 4)$ $12x^2 - 56x = 9x^2 - 36$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $12x^2 - 9x^2 - 56x + 36 = 0$ $3x^2 - 56x + 36 = 0$

Найдём корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 3136 - 432 = 2704$ $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$ Вычислим корни: $x_1 = \frac{-(-56) + 52}{2 \cdot 3} = \frac{56 + 52}{6} = \frac{108}{6} = 18$ $x_2 = \frac{-(-56) - 52}{2 \cdot 3} = \frac{56 - 52}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни физическому смыслу задачи, а именно условию $x > 2$. Корень $x_1 = 18$ удовлетворяет условию, так как $18 > 2$. Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{2}{3} < 2$. Этот корень является посторонним, поскольку при такой скорости катер не смог бы двигаться против течения. Таким образом, единственное подходящее решение — 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.