Номер 818, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 818, страница 182.

818. Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.

Пусть х км/ч - первоначальная скорость мотоциклиста, тогда 4x км - расстояние между городами. На обратный путь он потратил 4+0,5=4,5ч. Зная, что первые 100км обратного пути он ехал со скоростью x км/ч, а затем уменьшил её и она стала (x-10)км/ч, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{100}{x}+\frac{42-100}{x-10}=4,5 /x\left(x-10\right) \\ 100(x-10)+(4x-100)x=4,5x(x-10) \\ 100x-1000+4x^2-100x=4,5x^2-45x \\ 4x^2-4,5x^2+45x-1000=0 \\ -0,5x^2+45x-1000=0 /·\left(-2\right) \\ {x}^2-90x+2000=0 \\ D={\left(90\right)}^2-4·1·2000=8100-8000=100 \\ x=\frac{90\pm \sqrt{100}}{2}, x=\frac{90\pm 10}{2} \\ {x}_1=50; x_2=40 \end{gathered}$$

Если x=50, то $x\left(x-10\right)=50·\left(50-10\right)\mathrm{\ne }0x(x-10)\; =\; 50\; \backslash cdot\; (50-10)\backslash neq0$,

если х=40, то $x\left(x-10\right)=40\left(40-10\right)\mathrm{\ne }0x(x-10)=40(40-10)\backslash neq0$

2) 50*4=200(км) или 40*4-160(км)

Ответ: 160 км или 200 км

Пусть $S$ (км) — расстояние между городами, а $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста.

Согласно условию, мотоциклист ехал из одного города в другой 4 часа. Следовательно, расстояние между городами можно выразить через скорость и время:

$S = v \cdot 4$

На обратный путь мотоциклист затратил на 30 минут больше. Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0.5$ ч. Таким образом, время, затраченное на обратный путь, составляет:

$t_{обр} = 4 + 0.5 = 4.5$ ч.

Обратный путь состоял из двух участков. Время, затраченное на первый участок (100 км со скоростью $v$): $t_1 = \frac{100}{v}$ ч. Время, затраченное на второй участок (расстояние $S - 100$ км со скоростью $v - 10$ км/ч): $t_2 = \frac{S - 100}{v - 10}$ ч.

Общее время на обратный путь равно сумме времен, затраченных на эти два участка:

$t_{обр} = t_1 + t_2 = \frac{100}{v} + \frac{S - 100}{v - 10}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$S = 4v$

$4.5 = \frac{100}{v} + \frac{S - 100}{v - 10}$

Подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе:

$4.5 = \frac{100}{v} + \frac{4v - 100}{v - 10}$

Решим полученное уравнение относительно $v$. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $v(v - 10)$:

$4.5 = \frac{100(v - 10) + v(4v - 100)}{v(v - 10)}$

$4.5 = \frac{100v - 1000 + 4v^2 - 100v}{v^2 - 10v}$

$4.5 = \frac{4v^2 - 1000}{v^2 - 10v}$

Умножим обе части уравнения на $(v^2 - 10v)$, при условии, что $v \ne 0$ и $v \ne 10$ (что следует из условий задачи, так как скорость положительна и на втором участке она уменьшается на 10 км/ч):

$4.5(v^2 - 10v) = 4v^2 - 1000$

$4.5v^2 - 45v = 4v^2 - 1000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0.5v^2 - 45v + 1000 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$v^2 - 90v + 2000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2000 = 8100 - 8000 = 100$

Корни уравнения находятся по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v = \frac{90 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{90 \pm 10}{2}$

Отсюда получаем два возможных значения для скорости:

$v_1 = \frac{90 + 10}{2} = 50$ км/ч

$v_2 = \frac{90 - 10}{2} = 40$ км/ч

Оба значения скорости являются допустимыми, так как и сама скорость $v$, и уменьшенная скорость $v-10$ положительны в обоих случаях. Также в обоих случаях расстояние $S$ больше 100 км, что соответствует условию о "первых 100 км". Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: Если первоначальная скорость $v = 50$ км/ч.

Тогда расстояние между городами $S = 4 \cdot v = 4 \cdot 50 = 200$ км.

Проверка: Время на обратном пути равно $\frac{100}{50} + \frac{200-100}{50-10} = 2 + \frac{100}{40} = 2 + 2.5 = 4.5$ ч. Это на 0.5 часа больше, чем 4 часа, что соответствует условию задачи.

Случай 2: Если первоначальная скорость $v = 40$ км/ч.

Тогда расстояние между городами $S = 4 \cdot v = 4 \cdot 40 = 160$ км.

Проверка: Время на обратном пути равно $\frac{100}{40} + \frac{160-100}{40-10} = 2.5 + \frac{60}{30} = 2.5 + 2 = 4.5$ ч. Это также на 0.5 часа больше, чем 4 часа, что соответствует условию задачи.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два возможных значения расстояния.

Ответ: расстояние между городами равно 160 км или 200 км.