Номер 821, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 821, страница 183.

821. Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта М в пункт N?

Пусть x км/ч - первоначальная скорость мотоциклиста, тогда расстояние от M до N, которое он проехал за 5ч, равно 5x км.

Зная, что на обратном пути первые 36км он ехал со скоростью x км/ч, а остальную часть (5x-36)км - со скоростью (x+3)км/ч, потратив на обратный путь на 15 мин меньше, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{36}{x}+\frac{5x-36}{x+3}+\frac{15}{60}=5 \\ \frac{36}{x}+\frac{5x-36}{x+3}+\frac{1}{4}=5 \mathrm{/}·4x\left(x+3\right) \\ 36·4\left(x+3\right)+\left(5x-36\right)·4x+x\left(x+3\right)=5·4x\left(x+3\right) \\ 144x+432+20x^2-144x+x^2+3x=20x^2+60x \\ {x}^2+3x-60x+432=0 \\ {x}^2-57x+432=0 \\ D={\left(-57\right)}^2-4·1·432=3249-1728=1521 \\ x=\frac{57\pm \sqrt{1521}}{2}; x=\frac{57\pm 39}{2} \\ {x}_1=48; x_2=9 \end{gathered}$$

Если x=48, то x(x+3)=48*(48+3)≠0,

если х=9, то x(x+3)=9(9+3)≠0

Ответ: 9 км/ч или 48 км/ч

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста.
Мотоциклист проехал расстояние от пункта $M$ до пункта $N$ за 5 часов. Следовательно, это расстояние $S$ можно выразить через скорость:$S = 5v$ км.

На обратный путь мотоциклист затратил на 15 минут меньше. Переведем 15 минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$.
Время, затраченное на обратный путь, составляет:$t_{обратно} = 5 \text{ ч} - 0.25 \text{ ч} = 4.75 \text{ ч} = \frac{19}{4}$ ч.

Обратный путь состоял из двух участков:
1. Первый участок: расстояние $S_1 = 36$ км, скорость была такой же, то есть $v_1 = v$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{36}{v}$ ч.
2. Второй (оставшийся) участок: расстояние $S_2 = S - S_1 = 5v - 36$ км. Скорость на этом участке была на 3 км/ч больше, то есть $v_2 = v + 3$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{5v - 36}{v + 3}$ ч.

Общее время на обратный путь равно сумме времени, затраченного на оба участка:$t_{обратно} = t_1 + t_2$.
Подставим известные выражения и составим уравнение:$\frac{36}{v} + \frac{5v - 36}{v + 3} = \frac{19}{4}$.

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 3)$:$\frac{36(v + 3) + v(5v - 36)}{v(v + 3)} = \frac{19}{4}$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{36v + 108 + 5v^2 - 36v}{v^2 + 3v} = \frac{19}{4}$

Упростим числитель:$\frac{5v^2 + 108}{v^2 + 3v} = \frac{19}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):$4(5v^2 + 108) = 19(v^2 + 3v)$

$20v^2 + 432 = 19v^2 + 57v$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$20v^2 - 19v^2 - 57v + 432 = 0$
$v^2 - 57v + 432 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = (-57)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 432 = 3249 - 1728 = 1521$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$.

Найдем два возможных значения для скорости $v$:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 + 39}{2} = \frac{96}{2} = 48$.
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 - 39}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Оба найденных корня являются положительными. Необходимо проверить, имеют ли они физический смысл в контексте задачи. Так как мотоциклист проехал 36 км на обратном пути, общее расстояние $S$ должно быть не меньше 36 км.$S = 5v > 36 \implies v > \frac{36}{5} \implies v > 7.2$.Оба решения ($v=48$ и $v=9$) удовлетворяют этому условию. Проверим оба варианта.

Проверка 1: Если $v = 48$ км/ч.
Расстояние $S = 5 \cdot 48 = 240$ км.
Время на обратном пути: $\frac{36}{48} + \frac{240 - 36}{48 + 3} = \frac{3}{4} + \frac{204}{51} = 0.75 + 4 = 4.75$ ч.
Разница во времени: $5 - 4.75 = 0.25$ ч, что равно 15 минутам. Это решение подходит.

Проверка 2: Если $v = 9$ км/ч.
Расстояние $S = 5 \cdot 9 = 45$ км.
Время на обратном пути: $\frac{36}{9} + \frac{45 - 36}{9 + 3} = 4 + \frac{9}{12} = 4 + 0.75 = 4.75$ ч.
Разница во времени: $5 - 4.75 = 0.25$ ч, что равно 15 минутам. Это решение также подходит.

Таким образом, задача имеет два математически верных решения.

Ответ: 9 км/ч или 48 км/ч.