Номер 817, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 817, страница 182.

817. Автобус проехал расстояние между пунктами А и В, равное 400 км, с некоторой постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт А, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько времени затратил автобус на обратный путь?

Пусть х км/ч скорость автобуса, с которой он ехал из А в В, тогда (x+10)км/ч - скорость автобуса из В в А, с которой он ехал расстояние, равное (400-2х)км. Зная, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{400}{x}=2+\frac{400-2x}{x+10}+\frac{20}{60} \\ \frac{400}{x}=2+\frac{400-2x}{x+10}+\frac{1}{3} /·3x\left(x+10\right) \\ 400·3\left(x+10\right)=2·3x\left(x+10\right)+3x\left(400-2x\right)+x\left(x+10\right) \\ 1200x+12000=6x^2+60x+1200x-6x^2+x^2+10x \\ {x}^2+1270x-1200x-12000=0 \\ {x}^2+70x-12000=0 \\ D=70^2-4·1\left(-12000\right)=4900+48000=52900 \\ x=\frac{-70\pm \sqrt{52900}}{2}; x=\frac{-70\pm 230}{2} \end{gathered}$$

$x_1=80; x_2=-150$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 400:80=5(ч) - время, потраченное из А в B

3) $5-\frac{20}{60}=5-\frac{1}{3}=4\frac{2}{3}=4\text{ч }40\text{мин}$ - время, потраченное на обратный путь

Ответ: 4ч 40мин

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная постоянная скорость автобуса. Расстояние между пунктами А и В равно 400 км.

Время, затраченное на путь из А в В, составляет $t_{АВ} = \frac{400}{v}$ часов.

На обратном пути автобус сначала ехал 2 часа со скоростью $v$, проехав расстояние $S_1 = 2 \cdot v$ км.Оставшееся расстояние составляет $S_2 = 400 - 2v$ км.Затем автобус увеличил скорость на 10 км/ч, и она стала равной $v + 10$ км/ч.Время, затраченное на оставшуюся часть пути, равно $t_2 = \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

Общее время, затраченное на обратный путь из В в А, равно сумме времени на двух участках:$t_{ВА} = 2 + \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

По условию, на обратный путь было затрачено на 20 минут меньше, чем на путь из А в В. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ часа.Следовательно, мы можем составить уравнение:$t_{АВ} - t_{ВА} = \frac{1}{3}$

$\frac{400}{v} - \left(2 + \frac{400 - 2v}{v + 10}\right) = \frac{1}{3}$

Решим это уравнение. Перенесем 2 в правую часть и приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$\frac{400(v + 10) - v(400 - 2v)}{v(v + 10)} = \frac{1}{3} + 2$

$\frac{400v + 4000 - 400v + 2v^2}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$

$\frac{2v^2 + 4000}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:$3(2v^2 + 4000) = 7(v^2 + 10v)$

$6v^2 + 12000 = 7v^2 + 70v$

$v^2 + 70v - 12000 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 4900 + 48000 = 52900$

$\sqrt{D} = \sqrt{52900} = 230$

$v_1 = \frac{-70 - 230}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

$v_2 = \frac{-70 + 230}{2} = \frac{160}{2} = 80$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость автобуса $v = 80$ км/ч.

Теперь найдем время, затраченное на обратный путь. Сначала вычислим время на путь из А в В:$t_{АВ} = \frac{400}{80} = 5$ часов.

Время на обратный путь на 20 минут меньше:$t_{ВА} = 5 \text{ часов} - 20 \text{ минут} = 4 \text{ часа } 40 \text{ минут}$.

Ответ: 4 часа 40 минут.