Номер 810, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 810, страница 181.

810. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

Пусть x км/ч - скорость течения реки (плота), тогда $\left(12-x\right)(12-x)$км/ч - скорость лодки против течения (вверх по реке). Зная, что в лодке он плыл на 10ч меньше, чем на плоту, составим и решим уравнение.

$$\begin{gathered} 10+\frac{25}{12-x}=\frac{25}{x} /·x\left(12-x\right) \\ 10x\left(12-x\right)+25x=25\left(12-x\right) \\ 120x-10x^2+25x=300-25x \\ -10x^2+145x+25x-300=0 \\ -10x^2+170x-300=0 /:\left(-10\right) \\ {x}^2-17x+30=0 \\ D={\left(-17\right)}^2-4·1·30=289-120=169 \\ x=\frac{17\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{17\pm 13}{2} \\ {x}_1=15; x_2=2 \end{gathered}$$

Если x=15, то , что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 2 км/ч

Обозначим искомую скорость течения реки через $x$ км/ч.

Собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна 12 км/ч. Турист проехал на лодке вверх по реке, то есть против течения. Скорость лодки против течения составляет $v_{против} = (12 - x)$ км/ч.

Расстояние, которое проехал турист, равно 25 км. Время, затраченное на путь в лодке, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:$t_{лодка} = \frac{25}{12 - x}$ часов.

Обратно турист спускался на плоту. Скорость плота равна скорости течения реки, поэтому $v_{плот} = x$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, составляет:$t_{плот} = \frac{25}{x}$ часов.

По условию задачи, на лодке турист плыл на 10 часов меньше, чем на плоту. Это можно выразить уравнением:$t_{плот} - t_{лодка} = 10$

Подставим в это уравнение выражения для времени:$\frac{25}{x} - \frac{25}{12 - x} = 10$

Для решения уравнения необходимо учесть область допустимых значений. Скорость $x$ должна быть положительной ($x > 0$). Кроме того, чтобы лодка могла двигаться против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $12 - x > 0$, откуда $x < 12$. Таким образом, $0 < x < 12$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(12 - x)$:$\frac{25(12 - x) - 25x}{x(12 - x)} = 10$

$25(12 - x) - 25x = 10x(12 - x)$

Раскроем скобки и упростим выражение:$300 - 25x - 25x = 120x - 10x^2$$300 - 50x = 120x - 10x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$10x^2 - 120x - 50x + 300 = 0$$10x^2 - 170x + 300 = 0$

Разделим все уравнение на 10 для упрощения:$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169$$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни условию $0 < x < 12$.Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет этому условию.Корень $x_2 = 15$ не удовлетворяет условию, так как скорость течения не может быть больше собственной скорости лодки. Следовательно, это посторонний корень.

Единственное решение, имеющее физический смысл, — $x = 2$.

Проверим найденное решение:Время движения на лодке: $t_{лодка} = \frac{25}{12 - 2} = \frac{25}{10} = 2,5$ часа.Время движения на плоту: $t_{плот} = \frac{25}{2} = 12,5$ часа.Разница во времени: $12,5 - 2,5 = 10$ часов, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 2 км/ч.