Номер 803, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 803, страница 180.

803. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{10x}{3x^2-2} \\ \frac{{\left(x\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2}{\left(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(x\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+ \\ +\frac{{\left(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}{\left(x\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{10x}{3x^2-2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{3x^2+2x\sqrt{6}+2}{3x^2-2}+\frac{3x^2-2x\sqrt{6}+2}{3x^2-2}= \\ =\frac{10x}{3x^2-2} /·(3x^2-2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3x^2+2x\sqrt{6}+2+3x^2-2x\sqrt{6}+2=10x \\ 6x^2-10x+4=0\mathrm{/}:2 \\ 3x^2-5x+2=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·3·2=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{6}; x=\frac{5\pm 1}{6} \\ {x}_1=1; x_2=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $3x^2-2=3·1^2-2=1\mathrm{\ne }03x^2\; -\; 2\; =\; 3\; \backslash cdot\; 1^2\; -\; 2\; =\; 1\; \backslash ne\; 0$,

Если $x=\frac{2}{3}x\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$, то $3x^2-2=3·{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-2=3·\frac{4}{9}-2=\frac{4}{3}-2\ne 0$

Ответ: $\frac{2}{3};1\backslash frac\{2\}\{3\};\; 1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1-y\sqrt{5}}{1+y\sqrt{5}}+\frac{1+y\sqrt{5}}{1-y\sqrt{5}}=\frac{9y}{1-5y^2} \\ \frac{{\left(1-y\sqrt{5}\right)}^2}{\left(1+y\sqrt{5}\right)\left(1-y\sqrt{5}\right)}+\frac{{\left(1+y\sqrt{5}\right)}^2}{\left(1-y\sqrt{5}\right)\left(1+y\sqrt{5}\right)}= \\ =\frac{9y}{1-5y^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1-2y\sqrt{5}+5y^2}{1-5y^2}+\frac{1+2y\sqrt{5}+5y^2}{1-5y^2}= \\ =\frac{9y}{1-5y^2}\mathrm{/}·\left(1-5y^2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 10y^2-9y+2=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·10·2=81-80=1 \\ y=\frac{9\pm \sqrt{1}}{20}; y=\frac{9\pm 1}{20} \\ {y}_1=0,5;y_2=0,4 \end{gathered}$$

Если $y=0,5$, то $1-5y^2=1-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{5}{4}\ne 0,$

если $y=0,4$, то $1-5y^2=1-5{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=1-5·\frac{4}{25}=1-\frac{4}{5}\ne 0$

Ответ: 0,4; 0,5

а) Решим уравнение $ \frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} - \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не обращаются в ноль:
$x\sqrt{3} - \sqrt{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
$x\sqrt{3} + \sqrt{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$
$3x^2 - 2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq \frac{2}{3} \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$
ОДЗ: $x \neq \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})$. По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ он равен $(x\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3x^2 - 2$.
$ \frac{(x\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 + (x\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $
Раскроем квадраты в числителе левой части по формулам $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$(3x^2 + 2(x\sqrt{3})(\sqrt{2}) + 2) + (3x^2 - 2(x\sqrt{3})(\sqrt{2}) + 2) = 3x^2 + 2x\sqrt{6} + 2 + 3x^2 - 2x\sqrt{6} + 2 = 6x^2 + 4$.
Уравнение принимает вид:
$ \frac{6x^2 + 4}{3x^2 - 2} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $
Поскольку знаменатели равны и не обращаются в ноль (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$ 6x^2 + 4 = 10x $
$ 6x^2 - 10x + 4 = 0 $
Разделим обе части уравнения на 2:
$ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
Оба найденных корня ($1$ и $\frac{2}{3}$) входят в область допустимых значений.
Ответ: $1; \frac{2}{3}$.

б) Решим уравнение $ \frac{1 - y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 - y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$1 + y\sqrt{5} \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$
$1 - y\sqrt{5} \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$1 - 5y^2 \neq 0 \Rightarrow 5y^2 \neq 1 \Rightarrow y^2 \neq \frac{1}{5} \Rightarrow y \neq \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$
ОДЗ: $y \neq \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(1 + y\sqrt{5})(1 - y\sqrt{5}) = 1^2 - (y\sqrt{5})^2 = 1 - 5y^2$.
$ \frac{(1 - y\sqrt{5})^2 + (1 + y\sqrt{5})^2}{1 - 5y^2} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $
Раскроем квадраты в числителе:
$(1 - 2y\sqrt{5} + 5y^2) + (1 + 2y\sqrt{5} + 5y^2) = 2 + 10y^2$.
Уравнение примет вид:
$ \frac{2 + 10y^2}{1 - 5y^2} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $
Приравняем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю:
$ 2 + 10y^2 = 9y $
$ 10y^2 - 9y + 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1 $
$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $
$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $
Оба корня ($\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{5}$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{2}{5}$.