Номер 801, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 801, страница 180.

801. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}y=2x+3; y=\frac{34}{x-5} \\ \frac{34}{x-5}=2x+3 /·\left(x-5\right) \\ 34=\left(2x+3\right)\left(x-5\right) \\ 2x^2-10x+3x-15-34=0 \\ 2x^2-7x-49=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·2·\left(-49\right)=49+392=441 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{441}}{4}; x=\frac{7\pm 21}{4} \\ {x}_1=7; x_2=\frac{-14}{4}=-\frac{7}{2}=-3,5 \end{gathered}$$

Если $x=7x=7$, то $y=2·7+3=17y=2\; \backslash cdot\; 7+3=17$,

если $x=-3,5x=-3,5$, то $y=2·\left(-3,5\right)+3=-7+3=-4y=2\; \backslash cdot\; (-3,5)+3=-7+3=-4$

Ответ: $\left(7;17\right); \left(-3,5;-4\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{x^2-5x}{x+3}; y=2x \\ \frac{x^2-5x}{x+3}=2x /·\left(x+3\right) \\ {x}^2-5x=2x\left(x+3\right) \\ {x}^2-5x=2x^2+6x \\ 2x^2-x^2+6x+5x=0 \\ {x}^2+11x=0 \\ x\left(x+11\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \mathrm{или}& x+11=0\\ & & x=-11\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x=0$, то $y=2·0=0y=2\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$,

если $x=-11x=-11$, то $y=\frac{{\left(-11\right)}^2-5·\left(-11\right)}{-11+3}=\frac{121+55}{-8}=-22$

Ответ: $\left(0;0\right), \left(-11;-22\right)$

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = 2x + 3$ и $y = \frac{34}{x-5}$, необходимо приравнять выражения для $y$ друг к другу. Это даст нам абсциссы ($x$) точек пересечения.

$2x + 3 = \frac{34}{x-5}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется знаменателем дроби: $x-5 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.

Для решения уравнения умножим обе его части на $(x-5)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$(2x + 3)(x - 5) = 34$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x^2 - 10x + 3x - 15 = 34$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 7x - 15 = 34$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 7x - 15 - 34 = 0$

$2x^2 - 7x - 49 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=2$, $b=-7$, $c=-49$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-49) = 49 + 392 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{7 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$

$x_2 = \frac{7 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 5$).

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$) точек пересечения, подставив значения $x$ в любую из исходных функций. Удобнее использовать $y = 2x + 3$.

Для $x_1 = 7$:

$y_1 = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(7, 17)$.

Для $x_2 = -3.5$:

$y_2 = 2 \cdot (-3.5) + 3 = -7 + 3 = -4$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(-3.5, -4)$.

Ответ: $(7, 17)$ и $(-3.5, -4)$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{x^2 - 5x}{x+3}$ и $y = 2x$, приравняем их правые части:

$\frac{x^2 - 5x}{x+3} = 2x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Умножим обе части уравнения на $(x+3)$:

$x^2 - 5x = 2x(x+3)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 5x = 2x^2 + 6x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, в правую:

$0 = 2x^2 - x^2 + 6x + 5x$

$x^2 + 11x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 11) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 + 11 = 0 \implies x_2 = -11$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в более простую функцию $y = 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 2 \cdot 0 = 0$

Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

Для $x_2 = -11$:

$y_2 = 2 \cdot (-11) = -22$

Вторая точка пересечения: $(-11, -22)$.

Ответ: $(0, 0)$ и $(-11, -22)$.