Страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

800. При каком значении х:

а) значение функции y =5x - 7x² + 1 равно –6; 0; 0,8; 0,56;

б) значение функции y =x² - 2x + 6x + 4 равно 1,5; 3; 7?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{5x-7}{x^2+1} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{;} \frac{5x-7}{x^2+1}=-6\mathrm{/}·\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=-6\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=-6x^2-6 \\ 6x^2+5x-7+6=0 \\ 6x^2+5x-1=0 \\ D=5^2-4·6·\left(-1\right)=25+24=49 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{12}; x=\frac{-5\pm 7}{12} \\ {x}_1=\frac{1}{6}, x_2=-1 \end{gathered}$$

Т.к $x^2+1>0x^2+1>0$, то $x_1=\frac{1}{6}x\_1=\backslash frac\{1\}\{6\}$ и $x_2=-1x\_2=-1$

Ответ: $\frac{1}{6}; -1$

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{;}\mathbf{ }\frac{5x-7}{x^2+1}=0\mathrm{/}·\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0 \\ 5x=7 \\ x=1,4 \end{gathered}$$

Ответ. 1,4

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{;} \frac{5x-7}{x^2+1}=0,8\mathrm{/}·\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0,8\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0,8x^2+0,8 \\ 0,8x^2-5x+0,8+7=0 \\ 0,8x^2-5x+7,8=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·0,8·7,8=25-24,96=0,04 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{0,04}}{1,6}; x=\frac{5\pm 0,2}{1,6} \\ {x}_1=3,25; x_2=3 \end{gathered}$$

Ответ: 3,25; 3

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{56}\mathbf{;} \frac{5x-7}{x^2+1}=0,56\mathrm{/}·\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0,56\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0,56x^2+0,56 \\ 0,56x^2-5x+7+0,56=0 \\ 0,56x^2-5x+7,56=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·0,56·7,56=25-16,9344=8,0656 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{8,0656}}{1,12}; x=\frac{5\pm 2,84}{1,12} \\ {x}_1=7; x_2=\frac{2,16}{1,12}=\frac{216}{112}=\frac{27}{14}=1\frac{13}{14} \end{gathered}$$

Ответ: 7; $1\frac{13}{14}1\backslash frac\{13\}\{14\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{x^2-2x+6}{x+4} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{;} \frac{x^2-2x+6}{x+4}=1,5 \mathrm{/}·\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6=1,5\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6-1,5x-6=0 \\ {x}^2-2x-1,5x=0 \\ {x}^2-3,5x=0 \\ x\left(x-3,5\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-3,5=0\\ & & x=3,5\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то x+4=0+4≠0,

если x=3,5, то x+4=3,5+4≠0

Ответ: 0; 3,5

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{;} \frac{x^2-2x+6}{x+4}=3 \mathrm{/}·\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6=3\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6=3x+12 \\ {x}^2-2x-3x+6-12=0 \\ {x}^2-5x-6=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·\left(-6\right)=25+24=49 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{49}}{2}; x=\frac{5\pm 7}{2} \\ {x}_1=6; x_2=-1 \end{gathered}$$

Если x=6, то x+4=6+4≠0,

если x=-1, то x+4=-1+4≠0

Ответ: -1; 6

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathbf{;} \frac{x^2-2x+6}{x+4}=7 \mathrm{/}·\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6=7\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6-7x-28=0 \\ {x}^2-9x-22=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·1·\left(-22\right)=81+88=169 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{9\pm 13}{2} \\ {x}_1=11; x_2=-2 \end{gathered}$$

Если x=11, то x+4=11+4≠0

если x=-2, то x+4=-2+4≠0

Ответ: -2; 11

а) Для функции $y = \frac{5x - 7}{x^2 + 1}$ найдем значения $x$, при которых значение функции равно -6; 0; 0,8; 0,56.

1. Найдем $x$, при котором значение функции равно -6.

Для этого решим уравнение:

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = -6$

Так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом значении $x$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^2 + 1$:

$5x - 7 = -6(x^2 + 1)$

$5x - 7 = -6x^2 - 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$6x^2 + 5x - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

Ответ: при $x = -1$ и $x = \frac{1}{6}$.

2. Найдем $x$, при котором значение функции равно 0.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен.

$5x - 7 = 0$

$5x = 7$

$x = \frac{7}{5} = 1,4$

Ответ: при $x = 1,4$.

3. Найдем $x$, при котором значение функции равно 0,8.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0,8$

$5x - 7 = 0,8(x^2 + 1)$

$5x - 7 = 0,8x^2 + 0,8$

$0,8x^2 - 5x + 7,8 = 0$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем разделим на 2 для упрощения:

$8x^2 - 50x + 78 = 0$

$4x^2 - 25x + 39 = 0$

Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 39 = 625 - 624 = 1$.

$x_1 = \frac{25 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3,25$

$x_2 = \frac{25 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: при $x = 3$ и $x = 3,25$.

4. Найдем $x$, при котором значение функции равно 0,56.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0,56$

$5x - 7 = 0,56(x^2 + 1)$

$5x - 7 = 0,56x^2 + 0,56$

$0,56x^2 - 5x + 7,56 = 0$

Умножим уравнение на 100, а затем разделим на 4:

$56x^2 - 500x + 756 = 0$

$14x^2 - 125x + 189 = 0$

Дискриминант $D = (-125)^2 - 4 \cdot 14 \cdot 189 = 15625 - 10584 = 5041 = 71^2$.

$x_1 = \frac{125 + 71}{2 \cdot 14} = \frac{196}{28} = 7$

$x_2 = \frac{125 - 71}{2 \cdot 14} = \frac{54}{28} = \frac{27}{14}$

Ответ: при $x = 7$ и $x = \frac{27}{14}$.

б) Для функции $y = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4}$ найдем значения $x$, при которых значение функции равно 1,5; 3; 7.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

1. Найдем $x$, при котором значение функции равно 1,5.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 1,5$

Умножим обе части на $x+4$ (при $x \neq -4$):

$x^2 - 2x + 6 = 1,5(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 1,5x + 6$

$x^2 - 2x - 1,5x = 0$

$x^2 - 3,5x = 0$

$x(x - 3,5) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 3,5$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $x = 0$ и $x = 3,5$.

2. Найдем $x$, при котором значение функции равно 3.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 3$

$x^2 - 2x + 6 = 3(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 3x + 12$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $x = -1$ и $x = 6$.

3. Найдем $x$, при котором значение функции равно 7.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 7$

$x^2 - 2x + 6 = 7(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 7x + 28$

$x^2 - 9x - 22 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно -22. Корни: $x_1 = 11$ и $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $x = -2$ и $x = 11$.

801. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}y=2x+3; y=\frac{34}{x-5} \\ \frac{34}{x-5}=2x+3 /·\left(x-5\right) \\ 34=\left(2x+3\right)\left(x-5\right) \\ 2x^2-10x+3x-15-34=0 \\ 2x^2-7x-49=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·2·\left(-49\right)=49+392=441 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{441}}{4}; x=\frac{7\pm 21}{4} \\ {x}_1=7; x_2=\frac{-14}{4}=-\frac{7}{2}=-3,5 \end{gathered}$$

Если $x=7x=7$, то $y=2·7+3=17y=2\; \backslash cdot\; 7+3=17$,

если $x=-3,5x=-3,5$, то $y=2·\left(-3,5\right)+3=-7+3=-4y=2\; \backslash cdot\; (-3,5)+3=-7+3=-4$

Ответ: $\left(7;17\right); \left(-3,5;-4\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{x^2-5x}{x+3}; y=2x \\ \frac{x^2-5x}{x+3}=2x /·\left(x+3\right) \\ {x}^2-5x=2x\left(x+3\right) \\ {x}^2-5x=2x^2+6x \\ 2x^2-x^2+6x+5x=0 \\ {x}^2+11x=0 \\ x\left(x+11\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \mathrm{или}& x+11=0\\ & & x=-11\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x=0$, то $y=2·0=0y=2\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$,

если $x=-11x=-11$, то $y=\frac{{\left(-11\right)}^2-5·\left(-11\right)}{-11+3}=\frac{121+55}{-8}=-22$

Ответ: $\left(0;0\right), \left(-11;-22\right)$

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = 2x + 3$ и $y = \frac{34}{x-5}$, необходимо приравнять выражения для $y$ друг к другу. Это даст нам абсциссы ($x$) точек пересечения.

$2x + 3 = \frac{34}{x-5}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется знаменателем дроби: $x-5 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.

Для решения уравнения умножим обе его части на $(x-5)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$(2x + 3)(x - 5) = 34$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x^2 - 10x + 3x - 15 = 34$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 7x - 15 = 34$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 7x - 15 - 34 = 0$

$2x^2 - 7x - 49 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=2$, $b=-7$, $c=-49$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-49) = 49 + 392 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{7 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$

$x_2 = \frac{7 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 5$).

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$) точек пересечения, подставив значения $x$ в любую из исходных функций. Удобнее использовать $y = 2x + 3$.

Для $x_1 = 7$:

$y_1 = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(7, 17)$.

Для $x_2 = -3.5$:

$y_2 = 2 \cdot (-3.5) + 3 = -7 + 3 = -4$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(-3.5, -4)$.

Ответ: $(7, 17)$ и $(-3.5, -4)$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{x^2 - 5x}{x+3}$ и $y = 2x$, приравняем их правые части:

$\frac{x^2 - 5x}{x+3} = 2x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Умножим обе части уравнения на $(x+3)$:

$x^2 - 5x = 2x(x+3)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 5x = 2x^2 + 6x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, в правую:

$0 = 2x^2 - x^2 + 6x + 5x$

$x^2 + 11x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 11) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 + 11 = 0 \implies x_2 = -11$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в более простую функцию $y = 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 2 \cdot 0 = 0$

Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

Для $x_2 = -11$:

$y_2 = 2 \cdot (-11) = -22$

Вторая точка пересечения: $(-11, -22)$.

Ответ: $(0, 0)$ и $(-11, -22)$.

802. Решите графически уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{6}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=1,5x-2 \\ y=\frac{6}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }} \end{gathered}$$

Если $x>0x>0$, то $y=\frac{6}{x}y=\backslash frac\{6\}\{x\}$,

если , то $y=-\frac{6}{x}$

$y=1,5x-2$

x≈2,8

Ответ: ≈2,8

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{8}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=x^2 \\ y=x^2 \end{gathered}$$

$y=\frac{8}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}y=\backslash frac\{8\}\{|x|\}$

Если x>0, тo $y=\frac{8}{x}y=\backslash frac\{8\}\{x\}$,

если x<0, тo $y=-\frac{8}{x}y=-\backslash frac\{8\}\{x\}$

x₁=2; x₂=-2

Ответ: -2; 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{3}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=x+1 \\ y=\frac{3}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }} \end{gathered}$$

Если x>0, тo $y=\frac{3}{x}y=\backslash frac\{3\}\{x\}$,

если x<0, тo $y=-\frac{3}{x}y=-\backslash frac\{3\}\{x\}$

y=x+1

x≈1,3

Ответ: ≈1,3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2=\frac{5}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }} \\ y=x^2 \end{gathered}$$

Если x>0, тo $y=\frac{5}{x}y=\backslash frac\{5\}\{x\}$,

если x<0, тo $y=-\frac{5}{x}y=-\backslash frac\{5\}\{x\}$

x₁≈1,7; x₂≈-1,7

Ответ: ≈1,7; ≈-1,7

а)

Чтобы решить уравнение $\frac{6}{|x|} = 1,5x - 2$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \frac{6}{|x|}$ и $y_2 = 1,5x - 2$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y_1 = \frac{6}{|x|}$.
Эта функция четная, так как $y_1(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y_1(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
При $x > 0$, функция принимает вид $y_1 = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой координатной четверти. Найдем несколько точек для ее построения: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1).
Вторую ветвь (при $x < 0$) получаем, отразив первую симметрично относительно оси OY. Она будет проходить через точки (-1; 6), (-2; 3), (-3; 2), (-6; 1).

2. Построим график функции $y_2 = 1,5x - 2$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

• При $x = 0$, $y_2 = 1,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0; -2).
• При $x = 2$, $y_2 = 1,5 \cdot 2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка (2; 1).

3. Анализ графиков.
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются только в одной точке, расположенной в первой четверти (где $x > 0$). При $x < 0$ график $y_1$ находится выше оси абсцисс, а график $y_2$ — ниже, поэтому пересечений нет.
Для нахождения точной абсциссы точки пересечения решим уравнение для $x > 0$: $\frac{6}{x} = 1,5x - 2$
$6 = x(1,5x - 2)$
$1,5x^2 - 2x - 6 = 0$
Умножим обе части на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$3x^2 - 4x - 12 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 16 + 144 = 160$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 4\sqrt{10}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{3}$.
Поскольку мы ищем решение при $x > 0$, выбираем корень со знаком «плюс».

Ответ: $x = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{3}$.

б)

Решим уравнение $\frac{8}{|x|} = x^2$ графически. Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \frac{8}{|x|}$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \frac{8}{|x|}$ симметричен относительно оси OY. При $x > 0$ имеем $y_1 = \frac{8}{x}$ (гипербола). Контрольные точки для $x > 0$: (1; 8), (2; 4), (4; 2). Для $x < 0$: (-1; 8), (-2; 4), (-4; 2).

2. График функции $y_2 = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Контрольные точки: (0; 0), (1; 1), (2; 4), (-1; 1), (-2; 4).

3. Анализ графиков.
Обе функции четные, поэтому их графики симметричны относительно оси OY. Если есть точка пересечения с абсциссой $x_0$, то будет и точка пересечения с абсциссой $-x_0$.
Найдем пересечение для $x > 0$. Уравнение принимает вид $\frac{8}{x} = x^2$.
Отсюда $x^3 = 8$, что дает $x = \sqrt[3]{8} = 2$.
Значение $y$ в этой точке: $y = 2^2 = 4$. Точка пересечения (2; 4).
В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -2$. Проверим: $y = (-2)^2 = 4$. Точка (-2; 4).
Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

в)

Решим уравнение $\frac{3}{|x|} = x + 1$ графически. Построим графики функций $y_1 = \frac{3}{|x|}$ и $y_2 = x + 1$.

1. График функции $y_1 = \frac{3}{|x|}$ симметричен относительно оси OY. При $x > 0$ это гипербола $y_1 = \frac{3}{x}$. Точки: (1; 3), (3; 1), (0.5; 6). При $x < 0$ точки: (-1; 3), (-3; 1), (-0.5; 6).

2. График функции $y_2 = x + 1$ — прямая, проходящая через точки (0; 1) и (-1; 0).

3. Анализ графиков.
Построив графики, можно заметить, что пересечение происходит только в одной точке в первой четверти ($x > 0$).
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $x > 0$. Уравнение: $\frac{3}{x} = x + 1$.
$3 = x^2 + x \implies x^2 + x - 3 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Так как $x > 0$, то $x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.
Случай 2: $x < 0$. Уравнение: $\frac{3}{-x} = x + 1$.
$3 = -x(x+1) \implies 3 = -x^2 - x \implies x^2 + x + 3 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет, что подтверждается графиком (во второй четверти пересечений нет).
Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

г)

Решим уравнение $x^2 = \frac{5}{|x|}$ графически. Это эквивалентно уравнению $\frac{5}{|x|} = x^2$. Построим графики функций $y_1 = \frac{5}{|x|}$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \frac{5}{|x|}$ симметричен относительно оси OY. При $x > 0$ это гипербола $y_1 = \frac{5}{x}$. Точки для $x > 0$: (1; 5), (2; 2.5), (5; 1). Для $x < 0$: (-1; 5), (-2; 2.5), (-5; 1).

2. График функции $y_2 = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в (0; 0).

3. Анализ графиков.
Обе функции четные, графики симметричны относительно OY. Ищем решения для $x > 0$. Уравнение: $x^2 = \frac{5}{x}$.
$x^3 = 5 \implies x = \sqrt[3]{5}$.
Это абсцисса точки пересечения в первой четверти.
В силу симметрии, вторая точка пересечения будет иметь абсциссу $x = -\sqrt[3]{5}$.
Это можно проверить, решив уравнение для $x < 0$: $x^2 = \frac{5}{-x} \implies -x^3 = 5 \implies x^3 = -5 \implies x = \sqrt[3]{-5} = -\sqrt[3]{5}$.
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = -\sqrt[3]{5}, x_2 = \sqrt[3]{5}$.

803. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{10x}{3x^2-2} \\ \frac{{\left(x\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2}{\left(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(x\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+ \\ +\frac{{\left(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}{\left(x\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{10x}{3x^2-2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{3x^2+2x\sqrt{6}+2}{3x^2-2}+\frac{3x^2-2x\sqrt{6}+2}{3x^2-2}= \\ =\frac{10x}{3x^2-2} /·(3x^2-2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3x^2+2x\sqrt{6}+2+3x^2-2x\sqrt{6}+2=10x \\ 6x^2-10x+4=0\mathrm{/}:2 \\ 3x^2-5x+2=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·3·2=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{6}; x=\frac{5\pm 1}{6} \\ {x}_1=1; x_2=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $3x^2-2=3·1^2-2=1\mathrm{\ne }03x^2\; -\; 2\; =\; 3\; \backslash cdot\; 1^2\; -\; 2\; =\; 1\; \backslash ne\; 0$,

Если $x=\frac{2}{3}x\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$, то $3x^2-2=3·{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-2=3·\frac{4}{9}-2=\frac{4}{3}-2\ne 0$

Ответ: $\frac{2}{3};1\backslash frac\{2\}\{3\};\; 1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1-y\sqrt{5}}{1+y\sqrt{5}}+\frac{1+y\sqrt{5}}{1-y\sqrt{5}}=\frac{9y}{1-5y^2} \\ \frac{{\left(1-y\sqrt{5}\right)}^2}{\left(1+y\sqrt{5}\right)\left(1-y\sqrt{5}\right)}+\frac{{\left(1+y\sqrt{5}\right)}^2}{\left(1-y\sqrt{5}\right)\left(1+y\sqrt{5}\right)}= \\ =\frac{9y}{1-5y^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1-2y\sqrt{5}+5y^2}{1-5y^2}+\frac{1+2y\sqrt{5}+5y^2}{1-5y^2}= \\ =\frac{9y}{1-5y^2}\mathrm{/}·\left(1-5y^2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 10y^2-9y+2=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·10·2=81-80=1 \\ y=\frac{9\pm \sqrt{1}}{20}; y=\frac{9\pm 1}{20} \\ {y}_1=0,5;y_2=0,4 \end{gathered}$$

Если $y=0,5$, то $1-5y^2=1-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{5}{4}\ne 0,$

если $y=0,4$, то $1-5y^2=1-5{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=1-5·\frac{4}{25}=1-\frac{4}{5}\ne 0$

Ответ: 0,4; 0,5

а) Решим уравнение $ \frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} - \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не обращаются в ноль:
$x\sqrt{3} - \sqrt{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
$x\sqrt{3} + \sqrt{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$
$3x^2 - 2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq \frac{2}{3} \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$
ОДЗ: $x \neq \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})$. По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ он равен $(x\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3x^2 - 2$.
$ \frac{(x\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 + (x\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $
Раскроем квадраты в числителе левой части по формулам $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$(3x^2 + 2(x\sqrt{3})(\sqrt{2}) + 2) + (3x^2 - 2(x\sqrt{3})(\sqrt{2}) + 2) = 3x^2 + 2x\sqrt{6} + 2 + 3x^2 - 2x\sqrt{6} + 2 = 6x^2 + 4$.
Уравнение принимает вид:
$ \frac{6x^2 + 4}{3x^2 - 2} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $
Поскольку знаменатели равны и не обращаются в ноль (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$ 6x^2 + 4 = 10x $
$ 6x^2 - 10x + 4 = 0 $
Разделим обе части уравнения на 2:
$ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
Оба найденных корня ($1$ и $\frac{2}{3}$) входят в область допустимых значений.
Ответ: $1; \frac{2}{3}$.

б) Решим уравнение $ \frac{1 - y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 - y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$1 + y\sqrt{5} \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$
$1 - y\sqrt{5} \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$1 - 5y^2 \neq 0 \Rightarrow 5y^2 \neq 1 \Rightarrow y^2 \neq \frac{1}{5} \Rightarrow y \neq \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$
ОДЗ: $y \neq \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(1 + y\sqrt{5})(1 - y\sqrt{5}) = 1^2 - (y\sqrt{5})^2 = 1 - 5y^2$.
$ \frac{(1 - y\sqrt{5})^2 + (1 + y\sqrt{5})^2}{1 - 5y^2} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $
Раскроем квадраты в числителе:
$(1 - 2y\sqrt{5} + 5y^2) + (1 + 2y\sqrt{5} + 5y^2) = 2 + 10y^2$.
Уравнение примет вид:
$ \frac{2 + 10y^2}{1 - 5y^2} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $
Приравняем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю:
$ 2 + 10y^2 = 9y $
$ 10y^2 - 9y + 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1 $
$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $
$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $
Оба корня ($\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{5}$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{2}{5}$.

804. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3\left(2x-1\right)}{7\left(2x+1\right)}+\frac{8}{1-4x^2}=0 \\ \frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3\left(2x-1\right)}{7\left(2x+1\right)}+\frac{8}{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}=0 \\ \frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3\left(2x-1\right)}{7\left(2x+1\right)}-\frac{8}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}=0 \\ \frac{7{\left(2x+1\right)}^2-3{\left(2x-1\right)}^2-7·8}{7\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}=0 \mathrm{/}·7\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) \\ 7\left(4x^2+4x+1\right)-3\left(4x^2-4x+1\right)-56=0 \\ 28x^2+28x+7-12x^2+12x-3-56=0 \\ 16x^2+40x-52=0\mathrm{/}:4 \\ 4x^2+10x-13=0 \\ D=10^2-4·4·\left(-13\right)=100+208=308 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{308}}{8}; x=\frac{-10\pm \sqrt{4·77}}{8} \\ x=\frac{-10\pm 2\sqrt{77}}{8};x=\frac{2\left(-5\pm \sqrt{77}\right)}{8} \\ {x}_1=\frac{-5+\sqrt{77}}{4};x_2=\frac{-5-\sqrt{77}}{4} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{-5+\sqrt{77}}{4}x\; =\; \backslash frac\{-5\; +\; \backslash sqrt\{77\}\}\{4\}$, то $4x^2-1=4{\left(\frac{\sqrt{77}-5}{4}\right)}^2-1\ne 0,$

если $x=\frac{-5-\sqrt{77}}{4}x\; =\; \backslash frac\{-5\; -\; \backslash sqrt\{77\}\}\{4\}$, то $4x^2-1=4{\left(\frac{-5-\sqrt{77}}{4}\right)}^2-1\ne 0$

Ответ: $\frac{-5+\sqrt{77}}{4}; \frac{-5-\sqrt{77}}{4}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{y}{y^2-9}-\frac{1}{y^2+3y}+\frac{3}{6y+2y^2}=0 \\ \frac{y}{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}-\frac{1}{y\left(y+3\right)}+\frac{3}{2y\left(3+y\right)}=0 \\ \frac{2y^2-2\left(y-3\right)+3\left(y-3\right)}{2y\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=0\mathrm{/}·2y\left(y-3\right)\left(y+3\right) \\ {y}^2-2y+6+3y-9=0 \\ {y}^2-y-3=0 \\ D=1^2-4·2·(-3)=1+24=25 \\ y=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{4}; y=\frac{-1\pm 5}{4} \\ {y}_1=1; y_2=-1,5 \end{gathered}$$

Если y=1, то $y\left(y^2-9\right)=1\left(1^2-9\right)\ne 0,$

если y=-1,5, то $y\left(y^2-9\right)=-1,5\left({(-1,5)}^2-9\right)\ne 0$

Ответ: -1,5; 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2y-1}{14y^2+7y}+\frac{8}{12y^2-3}-\frac{2y+1}{6y^2-3y} \\ \frac{2y-1}{7y\left(2y+1\right)}+\frac{8}{3\left(4y^2-1\right)}-\frac{2y+11}{3y\left(2y-1\right)} \\ \frac{2y-1}{7y\left(2y+1\right)}+\frac{8}{3\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}-\frac{2y+11}{3y\left(2y-1\right)}=0 \end{gathered}$$

$\frac{3{\left(2y-1\right)}^2+8·7y-7{(2y+1)}^2}{7·3y(2y-1)(2y+1)}=0$$/·21y\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)$

$$\begin{gathered} 3\left(4y^2-4y+1\right)+56y-7\left(4y^2+4y+1\right)=0 \\ 12y^2-12y+3+56y-28y^2-28y-7=0 \\ -16y^2+16y-4=0 /:(-4) \\ 4y^2-4y+1=0 \\ {(2y-1)}^2=0 \\ 2y-1=0 \\ 2y=1 \\ y=0,5 \end{gathered}$$

Если y=0,5, то $y\left(2y-1\right)(2y+1)=0,5(2·0,5-1)(2·0,5+1)=0$

Ответ: нет корней.

$$\begin{gathered} \frac{3}{x^2-9}-\frac{1}{9-6x+x^2}-\frac{3}{2x^2+6x} \\ \frac{3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{1}{{\left(x-3\right)}^2}-\frac{3}{2x\left(x+3\right)}=0 \end{gathered}$$

$\frac{3·2x\left(x-3\right)-2x\left(x+3\right)-3{\left(x-3\right)}^2}{2x{\left(x-3\right)}^2\left(x+3\right)}=0$$/·2x{\left(x-3\right)}^2\left(x+3\right)$

$$\begin{gathered} 6x^2-18x-2x^2-6x-3(x^2-6x+9)=0 \\ 4x^2-24x-3x^2+18x-27=0 \\ {x}^2-6x-27=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·\left(-27\right)=36+108=144 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{144}}{2};x=\frac{6\pm 12}{2} \\ {x}_1=9; x_2=-3 \end{gathered}$$

Если x=9, то $9(9-3{)}^2(9+3)\ne 0,$

если x=-3, то $-3·{(-3-3)}^2(-3+3)=0$

Ответ: 9

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{9x+12}{x^2-64}-\frac{1}{x^2+4x+16}-\frac{1}{x-4} \\ \frac{9x+12}{\left(x-4\right)(x^2+4x+16)}-\frac{1}{x^2+4x+16}-\frac{1}{x-4}=0 \\ \frac{9x+12-\left(x-4\right)-(x^2+4x+16)}{\left(x-4\right)(x^2+4x+16)}=0 \end{gathered}$$

$\frac{9x+12-x+4-x^2-4x-16}{(x-4)(x^2+4x+16)}=0$$/·\left(x-4\right)(x^2+4x+16)$

$$\begin{gathered} -x^2+4x=0 \\ -x\left(x-4\right)=0 \\ \begin{array}{ccc}x=0& \text{или}& x-4=0\\ & & x=4\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то $(0-4)\left(0^2+4·0+16\right)=-64\ne 0$

Если x=4, то $(4-4)\left(4^2+4·4+16\right)=0$

Ответ: 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{3}{8y^3+1}-\frac{1}{2y+1}-\frac{y+3}{4y^2-2y+1} \\ \frac{3}{\left(2y+1\right)(4y^2-2y+1)}-\frac{1}{2y+1}-\frac{y+3}{4y^2-2y+1}=0 \\ \frac{3-(4y^2-2y+1)-\left(y+3\right)\left(2y+1\right)}{\left(2y+1\right)(4y^2-2y+1)}=0 \end{gathered}$$

$\frac{3-4y^2+2y-1-(2y^2+y+6y+3)}{\left(2y+1\right)(4y^2-2y+1)}=0$$/·\left(2y+1\right)(4y^2-2y+1)$

$$\begin{gathered} 2-4y^2+2y-2y^2-7y-3=0 \\ -6y^2-5y-1=0 /·\left(-1\right) \\ 6y^2+5y+1=0 \\ D=5^2-4·6·1=25-24=1 \\ y=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{12};y=\frac{-5\pm 1}{12} \\ {y}_1=-\frac{1}{3}; y_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Если $y=-\frac{1}{3}$, то $8y^3+1=8·{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+1\ne 0,$

если $y=-\frac{1}{2}$, то $8y^3+1=8·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3+1\ne 0$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{32}{x^3-2x^2-x+2}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x+1} \\ \frac{32}{x^2\left(x-2\right)-\left(x-2\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}-\frac{1}{x+1}=0 \\ \frac{32}{\left(x-2\right)(x^2-1)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}-\frac{1}{x+1}=0 \\ \frac{32}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}- \\ -\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0 /·\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right) \\ 33+x-x^2+3x-2=0 \\ -x^2+4x+31=0 \\ D=4^2-4·\left(-1\right)·31=16+124=140 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{140}}{-2}; x=\frac{-4\pm \sqrt{35·4}}{-2} \\ x=\frac{-4\pm 2\sqrt{35}}{-2}; x=\frac{2\left(2\pm \sqrt{35}\right)}{-2} \\ {x}_1=2+\sqrt{35}; x_2=2-\sqrt{35} \end{gathered}$$

Если $x=2+\sqrt{35}x=2+\backslash sqrt\{35\}$, то $\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\mathrm{\ne }0(x-2)(x-1)(x+1)\backslash neq\; 0$,

если $x=2-\sqrt{35}x=2-\backslash sqrt\{35\}$, то $\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\mathrm{\ne }0(x-2)(x-1)(x+1)\backslash neq\; 0$

Ответ: $2+\sqrt{35}2+\backslash sqrt\{35\}$, $2-\sqrt{35}2-\backslash sqrt\{35\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{1}{3\left(x-4\right)}+\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}+\frac{1}{x^3-4x^2+3x-12}=0 \\ \frac{1}{3\left(x-4\right)}+\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}+\frac{1}{x^2\left(x-4\right)+3\left(x-4\right)}=0 \\ \frac{1}{3\left(x-4\right)}+\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}+\frac{1}{\left(x^2+3\right)\left(x-4\right)}=0 \\ \frac{2\left(x^2+3\right)+3\left(x-4\right)+6}{3·2\left(x^2+3\right)\left(x-4\right)}=0\mathrm{/}·6\left(x^2+3\right)\left(x-4\right) \\ 2x^2+6+3x-12+6=0 \\ 2x^2+3x=0 \\ x\left(2x+3\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 2x+3=0\\ & & 2x=-3 \\ x=-1,5\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x=0$, то $\left(x^2+3\right)\left(x-4\right)=\left(0^2+3\right)\left(0-4\right)\mathrm{\ne }0(x^2+3)(x-4)=(0^2+3)(0-4)\backslash neq\; 0$,

если $x=-1,5x=-1,5$, то $\left(x^2+3\right)\left(x-4\right)=\left({\left(-1,5\right)}^2+3\right)\left(-1,5-4\right)\ne 0$

Ответ: -1,5; 0

а) $\frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{3(2x - 1)}{7(2x + 1)} + \frac{8}{1 - 4x^2} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю: $2x - 1 \neq 0$, $2x + 1 \neq 0$, $1 - 4x^2 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq \frac{1}{2}$ и $x \neq -\frac{1}{2}$.

Преобразуем знаменатель последней дроби, используя формулу разности квадратов: $1 - 4x^2 = -(4x^2 - 1) = -(2x - 1)(2x + 1)$.

Подставим это в уравнение:

$\frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{3(2x - 1)}{7(2x + 1)} - \frac{8}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$

Общий знаменатель для всех дробей — $7(2x - 1)(2x + 1)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$7(2x + 1)(2x + 1) - 3(2x - 1)(2x - 1) - 8 \cdot 7 = 0$

$7(2x + 1)^2 - 3(2x - 1)^2 - 56 = 0$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$7(4x^2 + 4x + 1) - 3(4x^2 - 4x + 1) - 56 = 0$

$28x^2 + 28x + 7 - 12x^2 + 12x - 3 - 56 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(28-12)x^2 + (28+12)x + (7-3-56) = 0$

$16x^2 + 40x - 52 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$4x^2 + 10x - 13 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 100 + 208 = 308$

Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{308}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 77}}{8} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{77}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{77}}{4}$

Полученные корни $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{77}}{4}$ и $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{77}}{4}$ не равны $\pm \frac{1}{2}$, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{-5 \pm \sqrt{77}}{4}$.

б) $\frac{y}{y^2 - 9} - \frac{1}{y^2 + 3y} + \frac{3}{6y + 2y^2} = 0$

Разложим знаменатели на множители:

$y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$

$y^2 + 3y = y(y + 3)$

$6y + 2y^2 = 2y(3 + y)$

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq 3$, $y \neq -3$.

Перепишем уравнение: $\frac{y}{(y - 3)(y + 3)} - \frac{1}{y(y + 3)} + \frac{3}{2y(y + 3)} = 0$.

Общий знаменатель $2y(y - 3)(y + 3)$. Умножим на него обе части уравнения:

$y \cdot 2y - 1 \cdot 2(y - 3) + 3 \cdot (y - 3) = 0$

$2y^2 - 2(y - 3) + 3(y - 3) = 0$

$2y^2 + (y-3) = 0$

$2y^2 + y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$y = \frac{-1 \pm 5}{4}$

$y_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$; $y_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Оба корня ($1$ и $-\frac{3}{2}$) входят в ОДЗ.

Ответ: $1; -\frac{3}{2}$.

в) $\frac{2y - 1}{14y^2 + 7y} + \frac{8}{12y^2 - 3} = \frac{2y + 1}{6y^2 - 3y}$

Разложим знаменатели на множители:

$14y^2 + 7y = 7y(2y + 1)$

$12y^2 - 3 = 3(4y^2 - 1) = 3(2y - 1)(2y + 1)$

$6y^2 - 3y = 3y(2y - 1)$

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq \frac{1}{2}$, $y \neq -\frac{1}{2}$.

Общий знаменатель $21y(2y - 1)(2y + 1)$. Умножим на него обе части уравнения:

$3(2y - 1)(2y - 1) + 8 \cdot 7y = 7(2y + 1)(2y + 1)$

$3(2y - 1)^2 + 56y = 7(2y + 1)^2$

$3(4y^2 - 4y + 1) + 56y = 7(4y^2 + 4y + 1)$

$12y^2 - 12y + 3 + 56y = 28y^2 + 28y + 7$

$12y^2 + 44y + 3 = 28y^2 + 28y + 7$

Перенесем все члены в правую часть:

$(28-12)y^2 + (28-44)y + (7-3) = 0$

$16y^2 - 16y + 4 = 0$

Разделим на 4: $4y^2 - 4y + 1 = 0$.

Это полный квадрат: $(2y - 1)^2 = 0$.

Отсюда $2y - 1 = 0$, то есть $y = \frac{1}{2}$.

Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $y \neq \frac{1}{2}$. Следовательно, он является посторонним.

Ответ: корней нет.

г) $\frac{3}{x^2 - 9} - \frac{1}{9 - 6x + x^2} = \frac{3}{2x^2 + 6x}$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

$9 - 6x + x^2 = (x - 3)^2$

$2x^2 + 6x = 2x(x + 3)$

ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.

Общий знаменатель $2x(x - 3)^2(x + 3)$. Умножим на него:

$3 \cdot 2x(x - 3) - 1 \cdot 2x(x + 3) = 3 \cdot (x - 3)^2$

$6x^2 - 18x - (2x^2 + 6x) = 3(x^2 - 6x + 9)$

$6x^2 - 18x - 2x^2 - 6x = 3x^2 - 18x + 27$

$4x^2 - 24x = 3x^2 - 18x + 27$

$x^2 - 6x - 27 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение -27. Это корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -3$.

Корень $x = -3$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $9$.

д) $\frac{9x + 12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x^2 + 4x + 16} = \frac{1}{x - 4}$

Разложим знаменатель $x^3 - 64$ по формуле разности кубов: $x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)$.

ОДЗ: $x - 4 \neq 0$, т.е. $x \neq 4$. (Выражение $x^2 + 4x + 16$ всегда положительно, т.к. его дискриминант отрицателен).

Общий знаменатель $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$. Умножим на него:

$(9x + 12) - 1(x - 4) = 1(x^2 + 4x + 16)$

$9x + 12 - x + 4 = x^2 + 4x + 16$

$8x + 16 = x^2 + 4x + 16$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Корень $x = 4$ не входит в ОДЗ. Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0$.

е) $\frac{3}{8y^3 + 1} - \frac{1}{2y + 1} = \frac{y + 3}{4y^2 - 2y + 1}$

Разложим $8y^3 + 1$ по формуле суммы кубов: $(2y)^3 + 1^3 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$.

ОДЗ: $2y + 1 \neq 0$, т.е. $y \neq -\frac{1}{2}$. (Выражение $4y^2 - 2y + 1$ всегда положительно).

Общий знаменатель $(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$. Умножим на него:

$3 - 1(4y^2 - 2y + 1) = (y + 3)(2y + 1)$

$3 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + y + 6y + 3$

$-4y^2 + 2y + 2 = 2y^2 + 7y + 3$

$6y^2 + 5y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{12} = \frac{-5 \pm 1}{12}$

$y_1 = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$; $y_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.

Корень $y = -\frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ. Корень $y = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

ж) $\frac{32}{x^3 - 2x^2 - x + 2} + \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x + 1}$

Разложим знаменатель $x^3 - 2x^2 - x + 2$ на множители: $x^2(x - 2) - (x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$.

ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq -1$, $x \neq 2$.

Общий знаменатель $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$. Умножим на него:

$32 + 1(x + 1) = 1(x - 1)(x - 2)$

$x + 33 = x^2 - 2x - x + 2$

$x + 33 = x^2 - 3x + 2$

$x^2 - 4x - 31 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-31) = 16 + 124 = 140$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{140}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{35}}{2} = 2 \pm \sqrt{35}$.

Оба корня $x_1 = 2 + \sqrt{35}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{35}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2 \pm \sqrt{35}$.

з) $\frac{1}{3(x - 4)} + \frac{1}{2(x^2 + 3)} + \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 3x - 12} = 0$

Разложим знаменатель $x^3 - 4x^2 + 3x - 12$ на множители: $x^2(x - 4) + 3(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 3)$.

ОДЗ: $x - 4 \neq 0$, т.е. $x \neq 4$. (Выражение $x^2 + 3$ всегда положительно).

Общий знаменатель $6(x - 4)(x^2 + 3)$. Умножим на него:

$1 \cdot 2(x^2 + 3) + 1 \cdot 3(x - 4) + 1 \cdot 6 = 0$

$2x^2 + 6 + 3x - 12 + 6 = 0$

$2x^2 + 3x = 0$

$x(2x + 3) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $2x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{2}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; -\frac{3}{2}$.