Страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

765. Найдите b и решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}2x^2+bx-10=0 \\ {x}_1=5; 2·5^2+b·5-10=0 \\ 50+5b=10 \\ 5b=-40 \\ b=-8 \\ 2x^2-8x-10=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2-4x-5=0 \\ {x}_1+x_2=4 \\ 5+x_2=4 \\ {x}_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: $b=-8; 5; -1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3x^2+bx+24=0 \\ {x}_1=3; 3·3^2+b·3+24=0 \\ 27+3b+24=0 \\ 51+3b=0 \\ 3b=-51 \\ b=-17 \\ 3x^2-17b+24=0 \mathrm{/}:3 \\ {x}^2-\frac{17}{3}b+8=0 \\ {x}_1{x}_2=8 \\ 3x_2=8 \\ {x}_2=\frac{8}{3} \\ {x}_2=2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $b=-17; 3; 2\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(b-1\right)x^2-\left(b+1\right)x=72 \\ {x}_1=3 \\ \left(b-1\right)·3^2-\left(b+1\right)·3=72 \\ 9\left(b-1\right)-3\left(b+1\right)=72 \\ 9b-9-3b-3=72 \\ 6b-12=72 \\ 6b=84 \\ b=14 \\ \left(14-1\right)x^2-\left(14+1\right)x=72 \\ 13x^2-15x-72=0 \\ D={\left(-15\right)}^2-4·13·\left(-72\right)=225+3744=3969 \\ x=\frac{15\pm \sqrt{3969}}{26}; x=\frac{15\pm 63}{26} \\ {x}_1=3; x_2=\frac{-48}{26}=-\frac{24}{13}=-1\frac{11}{13} \end{gathered}$$

Ответ: $b=14; 3; -1\frac{11}{13}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left(b-5\right)x^2-\left(b-2\right)x+b=0 \\ {x}_1=\frac{1}{2} \\ \left(b-5\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\left(b-2\right)·\frac{1}{2}+b=0 \\ \frac{1}{4}\left(b-5\right)-\frac{b}{2}+1+b=0 \\ -\frac{b}{4}+b=\frac{1}{4} \\ \frac{3}{4}b=\frac{1}{4} \\ b=\frac{1}{4}:\frac{3}{4} \\ b=\frac{1}{4}·\frac{4}{3} \\ b=\frac{1}{3} \\ \left(\frac{1}{3}-5\right)x^2-\left(\frac{1}{3}-2\right)x+\frac{1}{3}=0 \\ -\frac{14}{3}{x}^2-\left(-\frac{5}{3}\right)x+\frac{1}{3}=0 \\ -\frac{14}{3}{x}^2+\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}=0\mathrm{/}·\left(-3\right) \\ 14x^2-5x-1=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·14·\left(-1\right)=25+56=81 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{81}}{28}; x=\frac{5\pm 9}{28} \\ {x}_1=\frac{14}{28}=\frac{1}{2}; x_2=-\frac{4}{28}=-\frac{1}{7} \end{gathered}$$

Ответ: $b=\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; -\frac{1}{7}$

а)

Дано уравнение $2x^2 + bx - 10 = 0$ и один из его корней $x_1 = 5$.

1. Найдем значение параметра $b$. Поскольку $x=5$ является корнем уравнения, при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное равенство:
$2 \cdot 5^2 + b \cdot 5 - 10 = 0$
$2 \cdot 25 + 5b - 10 = 0$
$50 + 5b - 10 = 0$
$40 + 5b = 0$
$5b = -40$
$b = -8$

2. Теперь решим уравнение, подставив найденное значение $b = -8$:
$2x^2 - 8x - 10 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Используем теорему Виета для нахождения второго корня. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение корней равно $q$.
$x_1 \cdot x_2 = -5$
Так как $x_1 = 5$, то:
$5 \cdot x_2 = -5$
$x_2 = -1$
Корни уравнения: 5 и -1.

Ответ: $b = -8$, корни уравнения $x_1 = 5, x_2 = -1$.

б)

Дано уравнение $3x^2 + bx + 24 = 0$ и один из его корней $x_1 = 3$.

1. Найдем значение параметра $b$. Подставим корень $x=3$ в уравнение:
$3 \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 24 = 0$
$3 \cdot 9 + 3b + 24 = 0$
$27 + 3b + 24 = 0$
$51 + 3b = 0$
$3b = -51$
$b = -17$

2. Решим уравнение с найденным значением $b = -17$:
$3x^2 - 17x + 24 = 0$
Используем теорему Виета. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{24}{3} = 8$
Так как $x_1 = 3$, то:
$3 \cdot x_2 = 8$
$x_2 = \frac{8}{3}$
Корни уравнения: 3 и $\frac{8}{3}$.

Ответ: $b = -17$, корни уравнения $x_1 = 3, x_2 = \frac{8}{3}$.

в)

Дано уравнение $(b - 1)x^2 - (b + 1)x = 72$ и один из его корней $x_1 = 3$.

1. Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:
$(b - 1)x^2 - (b + 1)x - 72 = 0$
Теперь найдем значение параметра $b$, подставив корень $x=3$ в уравнение:
$(b - 1) \cdot 3^2 - (b + 1) \cdot 3 - 72 = 0$
$9(b - 1) - 3(b + 1) - 72 = 0$
$9b - 9 - 3b - 3 - 72 = 0$
$6b - 84 = 0$
$6b = 84$
$b = 14$

2. Решим уравнение с найденным значением $b = 14$:
$(14 - 1)x^2 - (14 + 1)x - 72 = 0$
$13x^2 - 15x - 72 = 0$
Используем теорему Виета. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-72}{13}$
Так как $x_1 = 3$, то:
$3 \cdot x_2 = \frac{-72}{13}$
$x_2 = \frac{-72}{13 \cdot 3} = -\frac{24}{13}$
Корни уравнения: 3 и $-\frac{24}{13}$.

Ответ: $b = 14$, корни уравнения $x_1 = 3, x_2 = -\frac{24}{13}$.

г)

Дано уравнение $(b - 5)x^2 - (b - 2)x + b = 0$ и один из его корней $x_1 = \frac{1}{2}$.

1. Найдем значение параметра $b$. Подставим корень $x=\frac{1}{2}$ в уравнение:
$(b - 5)(\frac{1}{2})^2 - (b - 2)(\frac{1}{2}) + b = 0$
$(b - 5) \cdot \frac{1}{4} - \frac{b - 2}{2} + b = 0$
Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
$(b - 5) - 2(b - 2) + 4b = 0$
$b - 5 - 2b + 4 + 4b = 0$
$3b - 1 = 0$
$3b = 1$
$b = \frac{1}{3}$

2. Решим уравнение с найденным значением $b = \frac{1}{3}$:
$(\frac{1}{3} - 5)x^2 - (\frac{1}{3} - 2)x + \frac{1}{3} = 0$
$(\frac{1}{3} - \frac{15}{3})x^2 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})x + \frac{1}{3} = 0$
$-\frac{14}{3}x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{1}{3} = 0$
Умножим все уравнение на -3 для упрощения:
$14x^2 - 5x - 1 = 0$
Используем теорему Виета. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{14}$
Так как $x_1 = \frac{1}{2}$, то:
$\frac{1}{2} \cdot x_2 = -\frac{1}{14}$
$x_2 = -\frac{1}{14} \cdot 2 = -\frac{1}{7}$
Корни уравнения: $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{7}$.

Ответ: $b = \frac{1}{3}$, корни уравнения $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{7}$.

766. Докажите, что уравнение 7x² + bx – 23 = 0 при любых значениях b имеет один положительный и один отрицательный корень.

$$\begin{gathered} 7x^2+bx-23=0 \mathrm{/}:7 \\ {x}^2+\frac{b}{7}x-\frac{23}{7}=0 \\ D={\left(\frac{b}{7}\right)}^2-4·1·\left(-\frac{23}{7}\right)=\frac{b^2}{49}+\frac{92}{7}>0 \end{gathered}$$

При любых значениях b. Значит, уравнение имеет два корня. По теореме Виета: $x_1·x_2=-\frac{23}{7}x\_1\; \backslash cdot\; x\_2\; =\; -\backslash frac\{23\}\{7\}$

Значит, один корень положительный, другой - отрицательный.

Для доказательства того, что уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$ при любых значениях $b$ имеет один положительный и один отрицательный корень, необходимо установить два факта: во-первых, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня, и, во-вторых, что эти корни имеют разные знаки.

Это можно сделать, проанализировав его дискриминант и применив теорему Виета.

1. Анализ дискриминанта

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ строго положителен ($D > 0$).

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 7$, $b$ — параметр, $c = -23$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-23) = b^2 + 28 \cdot 23 = b^2 + 644$.

Квадрат любого действительного числа $b$ всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$.

Следовательно, дискриминант $D = b^2 + 644 \ge 0 + 644 = 644$.

Так как $D$ всегда не меньше 644, он строго положителен ($D > 0$) при любом значении $b$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

2. Применение теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами квадратного уравнения. В частности, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Для нашего уравнения произведение корней составляет:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-23}{7}$.

Поскольку произведение корней является отрицательным числом ($x_1 \cdot x_2 < 0$), это означает, что корни должны иметь разные знаки. То есть один корень должен быть положительным, а другой — отрицательным.

Таким образом, мы доказали, что при любом значении $b$ уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$ имеет два различных действительных корня, один из которых положителен, а другой — отрицателен.

Ответ: Утверждение доказано.

767. Докажите, что уравнение 12x² + 70x + a² + 1 = 0 при любых значениях а не имеет положительных корней.

$$\begin{gathered} 12x^2+70x+a^2+1=0 \mathrm{/}:12 \\ {x}^2+\frac{70}{12}x+\frac{a^2+1}{12}=0 \\ {x}^2+\frac{35}{6}x+\frac{a^2+1}{12}=0 \end{gathered}$$

$\frac{a^2+1}{12}>0$ при любых значениях а

По теореме Виета

$$\begin{gathered} x_1+x_2=-\frac{35}{6}x\_1\; +\; x\_2\; =\; -\backslash frac\{35\}\{6\} \\ {x}_1·x_2=\frac{a^2+1}{12}x\_1\; \backslash cdot\; x\_2\; =\; \backslash frac\{a^2\; +\; 1\}\{12\} \end{gathered}$$

Так как $\frac{a^2+1}{12}>0\backslash frac\{a^2\; +\; 1\}\{12\}\; >\; 0$, то $x_{1}x\_1$ и $x_{2}x\_2$ - числа одного знака: либо оба положительные, либо оба отрицательные. А так как , следовательно, они оба отрицательные

Для того чтобы доказать, что уравнение $12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0$ не имеет положительных корней при любых значениях $a$, рассмотрим левую часть уравнения как функцию от $x$:

$f(x) = 12x^2 + 70x + a^2 + 1$

Нам нужно показать, что $f(x)$ никогда не равно нулю, если $x$ — положительное число ($x > 0$).

Проанализируем каждое слагаемое в выражении для $f(x)$ при условии, что $x > 0$:

1. Слагаемое $12x^2$. Поскольку $x > 0$, то $x^2$ также будет больше нуля ($x^2 > 0$). Произведение положительного числа 12 на положительное число $x^2$ является положительным: $12x^2 > 0$.

2. Слагаемое $70x$. Поскольку $x > 0$, произведение положительного числа 70 на $x$ также будет положительным: $70x > 0$.

3. Слагаемое $a^2 + 1$. Переменная $a$ может принимать любые действительные значения. Квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет строго больше нуля (а точнее, больше или равен 1): $a^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, для любого положительного $x$ и любого действительного $a$, функция $f(x)$ представляет собой сумму трёх слагаемых:

$f(x) = \underbrace{12x^2}_{>0} + \underbrace{70x}_{>0} + \underbrace{a^2 + 1}_{\ge 1}$

Сумма двух строго положительных чисел и одного числа, которое больше или равно 1, всегда будет строго положительным числом. Более того, мы можем утверждать, что:

$f(x) = 12x^2 + 70x + a^2 + 1 > 0 + 0 + 1 = 1$

Поскольку при любом $x > 0$ и любом $a$ значение $f(x)$ всегда строго больше 1, оно никогда не может равняться нулю. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ не имеет решений для $x > 0$.

Это доказывает, что данное уравнение не имеет положительных корней ни при каких значениях $a$.

Ответ: Утверждение доказано. При $x > 0$ все слагаемые в левой части уравнения ($12x^2$, $70x$, $a^2+1$) положительны, поэтому их сумма не может быть равна нулю.

768. Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:

а) 2x² – 41x + 39 = 0;

б) 17x² + 243x – 260 = 0.

$a{x}^2+bx+c=0ax^2+bx+c=0$

Если a+b+c=0, то

$$\begin{gathered} b=-a-c=-\left(a+c\right) \\ a{x}^2-\left(a+c\right)x+c=0 \\ D={\left(-\left(a+c\right)\right)}^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac= \\ =a^2-2ac+c^2={\left(a-c\right)}^2 \\ {x}_1=\frac{a+c+\sqrt{{\left(a-c\right)}^2}}{2a}=\frac{a+c+a-c}{2a}=\frac{2a}{2a}=1 \\ {x}_2=\frac{a+c-\sqrt{{\left(a-c\right)}^2}}{2a}=\frac{a+c-a+c}{2a}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2x^2-41x+39=0 \\ a+b+c=2+\left(-41\right)+39=0 \\ {x}_1=1; x_2=\frac{39}{2}=19\frac{1}{2}=19,5 \end{gathered}$$

Ответ: 1; 19,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}17x^2+243x-260=0 \\ a+b+c=17+243+\left(-260\right)=0 \\ {x}_1=1; x_2=\frac{-260}{17}=-15\frac{5}{17} \end{gathered}$$

Ответ: 1; $-15\frac{5}{17}-15\backslash frac\{5\}\{17\}$

Сначала докажем приведённое утверждение. Дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. По условию, сумма его коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.
Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить его в уравнение вместо переменной. Если получится верное равенство, то число является корнем.
Подставим $x=1$ в левую часть уравнения:
$a(1)^2 + b(1) + c = a \cdot 1 + b + c = a + b + c$.
Поскольку из условия мы знаем, что $a + b + c = 0$, то левая часть уравнения при $x=1$ обращается в ноль. Мы получаем верное равенство $0 = 0$.
Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения, если сумма его коэффициентов равна нулю. Утверждение доказано.

Теперь, используя это свойство, решим уравнения.

а) $2x^2 - 41x + 39 = 0$
Найдём сумму коэффициентов: $a=2$, $b=-41$, $c=39$.
$a + b + c = 2 + (-41) + 39 = 41 - 41 = 0$.
Так как сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней уравнения $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2$ найдём по теореме Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Подставим известные значения:
$1 \cdot x_2 = \frac{39}{2}$
$x_2 = 19.5$
Ответ: $1; 19.5$.

б) $17x^2 + 243x - 260 = 0$
Найдём сумму коэффициентов: $a=17$, $b=243$, $c=-260$.
$a + b + c = 17 + 243 - 260 = 260 - 260 = 0$.
Так как сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней уравнения $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2$ найдём по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Подставим известные значения:
$1 \cdot x_2 = \frac{-260}{17}$
$x_2 = -\frac{260}{17}$
Ответ: $1; -\frac{260}{17}$.

769. Разность корней уравнения 3x² + bx + 10 = 0 равна 413. Найдите b.

$3x^2+bx+10=0$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=4\frac{1}{3}\\ x_1+x_2=-\frac{b}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2x_1=\frac{13}{3}-\frac{b}{3}\\ x_1+x_2=-\frac{b}{3}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}2x_1=\frac{13-b}{3}\\ x_1+x_2=-\frac{b}{3}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ \frac{13-b}{6}+x_2=-\frac{b}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=-\frac{b}{3}-\frac{13-b}{6}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=\frac{-2b-\left(13-b\right)}{6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=\frac{-2b-13+b}{6}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=\frac{-b-13}{6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=\frac{-13-b}{6}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} x_1·x_2=\frac{10}{3} \\ \frac{13-b}{6}·\left(-\frac{13+b}{6}\right)=\frac{10}{3} \\ -\frac{169-b^2}{36}=\frac{10}{3} \\ \left(b^2-169\right)·3=360 \\ {b}^2-169=120 \\ {b}^2=289 \\ b=\pm 17 \end{gathered}$$

Ответ: $b=\pm 17b\; =\; \backslash pm\; 17$

Дано квадратное уравнение $3x^2 + bx + 10 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, разность корней равна $4\frac{1}{3}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$|x_1 - x_2| = 4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения $ax^2+Bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $3x^2 + bx + 10 = 0$ коэффициенты равны: $a=3$, $B=b$, $c=10$. Тогда по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{3}$.

Свяжем сумму, произведение и разность корней с помощью следующего алгебраического тождества:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения. Так как $|x_1 - x_2| = \frac{13}{3}$, то $(x_1 - x_2)^2 = \left(\frac{13}{3}\right)^2 = \frac{169}{9}$.

Получаем уравнение:

$\frac{169}{9} = \left(-\frac{b}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{10}{3}\right)$.

Упростим правую часть:

$\frac{169}{9} = \frac{b^2}{9} - \frac{40}{3}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 9:

$9 \cdot \frac{169}{9} = 9 \cdot \frac{b^2}{9} - 9 \cdot \frac{40}{3}$.

$169 = b^2 - 3 \cdot 40$.

$169 = b^2 - 120$.

Теперь найдем $b^2$:

$b^2 = 169 + 120$.

$b^2 = 289$.

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $b$:

$b = \pm\sqrt{289}$.

$b = \pm 17$.

Проверим, что при этих значениях $b$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным.

$D = (\pm 17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$.

Поскольку $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при $b=17$ и при $b=-17$.

Ответ: $b = 17$ или $b = -17$.

770. Один из корней уравнения 5x² – 12x + c = 0 в 3 раза больше другого. Найдите с.

$5x^2-12x+c=05x^2-12x+c=0$

Пусть $x_1$ - первый корень уравнения, тогда $x_2=3x_1$

$$\begin{gathered} x^2-\frac{12}{5}x+\frac{c}{5}=0 \\ \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{12}{5}\\ x_1·x_2=\frac{c}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}{x}_1+3x_1=\frac{12}{5}\\ x_1·x_2=\frac{c}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x_1=\frac{12}{5}\\ x_1·x_2=\frac{c}{5}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{12}{20}\\ \frac{12}{20}·x_2=\frac{c}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{5}; x_2=3·\frac{3}{5}=\frac{9}{5}\\ \frac{3}{5}·\frac{9}{5}=\frac{c}{5}\end{array}\right. \\ \frac{27}{25}=\frac{c}{5}; c=\frac{27·5}{25}=\frac{27}{5}=5\frac{2}{5}=5,4 \end{gathered}$$

Ответ: 5,4

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $5x^2 - 12x + c = 0$.

Согласно условию задачи, один корень в 3 раза больше другого. Запишем это соотношение в виде $x_2 = 3x_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + d = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между его корнями ($x_1$, $x_2$) и коэффициентами ($a$, $b$, $d$):

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{d}{a}$

В нашем уравнении $5x^2 - 12x + c = 0$ коэффициенты имеют следующие значения: $a=5$, $b=-12$, а свободный член равен $c$.

Применим теорему Виета к данному уравнению:

1. Сумма корней:
$x_1 + x_2 = - \frac{-12}{5} = \frac{12}{5}$

2. Произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{5}$

Теперь мы можем составить систему из двух уравнений для нахождения корней:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{12}{5} \\ x_2 = 3x_1 \end{cases}$

Подставим второе уравнение ($x_2 = 3x_1$) в первое:
$x_1 + 3x_1 = \frac{12}{5}$
$4x_1 = \frac{12}{5}$

Отсюда находим значение первого корня:
$x_1 = \frac{12}{5 \cdot 4} = \frac{3}{5}$

Теперь находим второй корень:
$x_2 = 3x_1 = 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$

Мы нашли оба корня уравнения. Чтобы найти неизвестный коэффициент $c$, подставим значения корней в формулу для их произведения:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{5}$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{9}{5} = \frac{c}{5}$
$\frac{27}{25} = \frac{c}{5}$

Выразим $c$ из этого равенства:
$c = \frac{27 \cdot 5}{25} = \frac{27}{5} = 5,4$

Ответ: $c = 5,4$.

771. Частное корней уравнения 4x² + bx – 27 = 0 равно –3. Найдите b.

$$\begin{gathered} 4x^2+bx-27=0 \\ \frac{x_1}{x_2}=-3; x_1=-3x_2 \\ {x}^2+\frac{b}{4}x-\frac{27}{4}=0 \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{4}\\ x_1=-3x_2\end{array}\right. \\ -3x_2+x_2=-\frac{b}{4} \\ -2x_2=-\frac{b}{4} \\ {x}_2=\frac{b}{8}; x_1=-\frac{3b}{8} \\ {x}_1·x_2=-\frac{27}{4} \\ \frac{b}{8}·\left(-\frac{3b}{8}\right)=-\frac{27}{4} \\ -\frac{3b^2}{64}=-\frac{27}{4}; \\ {b}^2=\frac{64·27}{12}=\frac{64·9}{4}=16·9=144 \\ b=\pm 12 \end{gathered}$$

Ответ: ±12

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx - 27 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Из условия задачи известно, что частное корней равно -3. Запишем это как соотношение:

$\frac{x_1}{x_2} = -3$, откуда $x_1 = -3x_2$.

Для нахождения коэффициента $b$ воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + Bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$ (сумма корней)
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (произведение корней)

Для нашего уравнения коэффициенты $a=4$, $B=b$, $c=-27$. Подставим эти значения в формулы Виета:

1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$
2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{-27}{4}$

Теперь составим систему уравнений, используя соотношение между корнями и теорему Виета. Подставим выражение $x_1 = -3x_2$ в уравнение для произведения корней:

$(-3x_2) \cdot x_2 = -\frac{27}{4}$

$-3x_2^2 = -\frac{27}{4}$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x_2^2 = \frac{27}{4 \cdot 3} = \frac{9}{4}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x_2$:

$x_2 = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} \Rightarrow x_2 = \pm\frac{3}{2}$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. Пусть $x_2 = \frac{3}{2}$.

Тогда первый корень $x_1 = -3 \cdot x_2 = -3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{2}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -\frac{9}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} = -3$.

Подставим сумму корней в первую формулу Виета:

$-3 = -\frac{b}{4}$

Отсюда $b = 12$.

Случай 2. Пусть $x_2 = -\frac{3}{2}$.

Тогда первый корень $x_1 = -3 \cdot x_2 = -3 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{9}{2} + (-\frac{3}{2}) = \frac{6}{2} = 3$.

Подставим сумму корней в первую формулу Виета:

$3 = -\frac{b}{4}$

Отсюда $b = -12$.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $b = 12$ или $b = -12$.

772. Квадрат разности корней уравнения x² + px + 90 = 0 равен 81. Найдите p.

$$\begin{gathered} x^2+px+90=0 \\ {\left(x_1-x_2\right)}^2=81 \end{gathered}$$

I $\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0.36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x_1-x_2=9\\ x_1{x}_2=90\end{array}\right.$ или II $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=-9\\ x_1·x_2=90\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1=9+x_2\\ \left(9+x_2\right)x_2=90\end{array}\right. \\ {x}_2^2+9x_2-90=0 \\ D=9^2-4·1·\left(-90\right)=81+360=441 \\ {x}_2=\frac{-9\pm \sqrt{441}}{2}; x_2=\frac{-9\pm 21}{2} \\ {x}_2=6\text{ или }{x}_2=-15 \end{gathered}$$

Если $x_2=6x\_\{2\}=6$, то $x_1=9+6=15x\_\{1\}=9+6=15$,

если $x_2=-15x\_\{2\}=-15$, то $x_1=9+\left(-15\right)=-6$

$$\begin{gathered} -p=x_1+x_2=6+15=21; p=-21 \\ -p=x_1+x_2=-6+\left(-15\right)=-21; p=21 \end{gathered}$$

II

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=-9\\ x_1·x_2=90\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-9+x_2\\ \left(-9+x_2\right)x_2=90\end{array}\right. \\ {x}_2^2-9x_2-90=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·1·\left(-90\right)=81+360=441 \\ {x}_2=\frac{9\pm \sqrt{441}}{2}; x_2=\frac{9\pm 21}{2} \\ {x}_2=15\text{ или }{x}_2=-6 \end{gathered}$$

Если $x_2=15x\_\{2\}=15$, то $x_1=-9+15=6x\_\{1\}=-9+15=6$,

если $x_2=-6x\_\{2\}=-6$, то $x_1=-9+\left(-6\right)=-15$

$$\begin{gathered} -p=x_1+x_2=15+6=21, p=-21, \\ -p=x_1+x_2=-6+\left(-15\right)=-21; p=21 \end{gathered}$$

Ответ: $\pm 21\backslash pm\; 21$

Дано квадратное уравнение $x^2 + px + 90 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, квадрат разности корней равен 81, то есть $(x_1 - x_2)^2 = 81$.

Для нахождения $p$ можно воспользоваться теоремой Виета или формулой, связывающей разность корней с дискриминантом.

Способ 1: Использование теоремы Виета

По теореме Виета для данного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 90$.

Выразим квадрат разности корней через их сумму и произведение, используя тождество:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Теперь подставим известные нам по условию и из теоремы Виета значения:

$81 = (-p)^2 - 4 \cdot 90$

$81 = p^2 - 360$

Перенесем 360 в левую часть:

$p^2 = 81 + 360$

$p^2 = 441$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим возможные значения $p$:

$p = \pm\sqrt{441}$

$p = \pm 21$

Способ 2: Использование дискриминанта

Квадрат разности корней $x_1$ и $x_2$ для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ связан с дискриминантом $D = b^2 - 4ac$ по формуле: $(x_1 - x_2)^2 = \frac{D}{a^2}$.

В нашем уравнении $x^2 + px + 90 = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=p$, $c=90$.

Дискриминант $D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = p^2 - 360$.

Подставим известные значения в формулу для квадрата разности:

$81 = \frac{p^2 - 360}{1^2}$

$81 = p^2 - 360$

$p^2 = 81 + 360$

$p^2 = 441$

$p = \pm 21$

Оба способа приводят к одинаковому результату. При найденных значениях $p$ дискриминант $D = 81 > 0$, что подтверждает наличие двух различных действительных корней у исходного уравнения.

Ответ: $p = 21$ или $p = -21$.

773. Разность квадратов корней уравнения 2x² – 5x + c = 0 равна 0,25. Найдите с.

$$\begin{gathered} 2x^2-5x+c=0 \\ {x}_1^2-x_2^2=0,25 \\ {x}^2-\frac{5}{2}x+\frac{c}{2}=0 \\ \left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=0,25 \\ \left(x_1-x_2\right)·\frac{5}{2}=0,25 \\ {x}_1-x_2=0,25:2,5 \\ \left\{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=0,1\\ x_1+x_2=2,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=2,6\\ x_1+x_2=2,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1,3\\ 1,3+x_2=2,5\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1=1,3\\ x_2=2,5-1,3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1,3\\ x_2=1,2\end{array}\right. \\ \frac{c}{2}=x_1·x_2=1,3·1,2=1,56 \\ c=2·1,56=3,12 \end{gathered}$$

Ответ: 3,12

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 5x + c = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Согласно условию задачи, разность квадратов корней равна 0,25. Это можно записать в виде уравнения: $x_1^2 - x_2^2 = 0.25$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{d}{a}$

В нашем случае коэффициенты равны $a = 2$, $b = -5$, а свободный член — $c$. Применим теорему Виета к нашему уравнению:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$

Теперь вернемся к условию $x_1^2 - x_2^2 = 0.25$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0.25$

Мы уже знаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = 2.5$. Подставим это значение в уравнение: $(x_1 - x_2) \cdot 2.5 = 0.25$

Отсюда можем найти разность корней: $x_1 - x_2 = \frac{0.25}{2.5} = 0.1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2.5 \\ x_1 - x_2 = 0.1 \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы найти $x_1$: $(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 2.5 + 0.1$ $2x_1 = 2.6$ $x_1 = 1.3$

Теперь подставим значение $x_1 = 1.3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$: $1.3 + x_2 = 2.5$ $x_2 = 2.5 - 1.3 = 1.2$

Итак, мы нашли корни уравнения: 1.3 и 1.2. Чтобы найти неизвестный коэффициент $c$, воспользуемся формулой для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$

Подставим найденные значения корней: $1.3 \cdot 1.2 = \frac{c}{2}$ $1.56 = \frac{c}{2}$

Из этого уравнения находим $c$: $c = 1.56 \cdot 2 = 3.12$

Убедимся, что при таком значении $c$ уравнение имеет действительные корни, проверив знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3.12) = 25 - 8 \cdot 3.12 = 25 - 24.96 = 0.04$ Поскольку $D = 0.04 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что подтверждает корректность решения.

Ответ: $c = 3.12$.

774. Один из корней уравнения 4x² + bx + c = 0 равен 0,5, а другой — свободному члену. Найдите b и с.

$$\begin{gathered} 4x^2+bx+c=0 \\ {x}_1=0,5; x_2=c \\ {x}^2+\frac{b}{4}x+\frac{c}{4}=0 \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{4}\\ x_1·x_2=\frac{c}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0,5+c=-\frac{b}{4}\\ 0,5c=\frac{c}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0,5+c=-\frac{b}{4}\\ 2c=c\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2c-c=0\\ 0,5+c=-\frac{b}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 0,5=-\frac{b}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}c=0\\ -b=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: b=-2; c=0

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx + c = 0$. По условию задачи, один из корней уравнения равен $0,5$, а другой корень равен свободному члену $c$. Обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. Пусть $x_1 = 0,5$ и $x_2 = c$.

Для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{a}$

В нашем уравнении $a=4$, $B=b$ и $C=c$. Начнем с формулы для произведения корней, подставив в нее известные значения:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$0,5 \cdot c = \frac{c}{4}$

Решим это уравнение относительно $c$:

$\frac{c}{2} = \frac{c}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2c = c$

$2c - c = 0$

$c = 0$

Итак, мы нашли значение свободного члена: $c=0$. Это также означает, что второй корень уравнения $x_2$ равен 0.

Теперь используем формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $b$. Мы знаем оба корня: $x_1 = 0,5$ и $x_2 = 0$.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$0,5 + 0 = -\frac{b}{4}$

$0,5 = -\frac{b}{4}$

Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на $-4$:

$b = 0,5 \cdot (-4)$

$b = -2$

Мы нашли искомые коэффициенты: $b=-2$ и $c=0$.

Проверка:
Подставим найденные значения $b$ и $c$ в исходное уравнение: $4x^2 - 2x + 0 = 0$, то есть $4x^2 - 2x = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $2x(2x-1)=0$.
Корни: $x=0$ и $2x-1=0 \implies x=0,5$.
Полученные корни $0$ и $0,5$ соответствуют условию задачи: один корень равен $0,5$, а другой корень ($0$) равен свободному члену ($c=0$).

Ответ: $b = -2, c = 0$.

775. Известно, что коэффициенты b и с уравнения x² + bx + c = 0. где c ≠ 0, являются его корнями. Найдите b и с.

$$\begin{gathered} x^2+bx+c=0, c\ne 0 \\ {x}_1=b, x_2=c \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-b\\ x_1·x_2=c\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b+c=-b\\ bc=c\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2b=-c\\ bc-c=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2b=-c\\ c\left(b-1\right)=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2b=-c\\ b-1=0, c\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 2=-c\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=-2\end{array}\right.$

Ответ: b=1; c=-2

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + c = 0$. Согласно условию задачи, его корни, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, равны его коэффициентам $b$ и $c$. То есть, $x_1 = b$ и $x_2 = c$. Также известно, что $c \neq 0$.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями ($x_1, x_2$) и коэффициентами ($p, q$):
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае, для уравнения $x^2 + bx + c = 0$, коэффициенты $p=b$ и $q=c$. Применяя теорему Виета, получаем:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = c$

Теперь подставим в эти формулы значения корней, которые нам известны из условия задачи: $x_1 = b$ и $x_2 = c$. Это дает нам систему из двух уравнений:
$b + c = -b$ (1)
$b \cdot c = c$ (2)

Начнем с решения второго уравнения системы:
$bc = c$
$bc - c = 0$
Вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$c(b - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что либо $c = 0$, либо $b - 1 = 0$.
По условию задачи нам дано, что $c \neq 0$. Следовательно, мы должны выбрать второй вариант:
$b - 1 = 0$
$b = 1$

Мы нашли значение коэффициента $b$. Теперь подставим это значение в первое уравнение системы (1), чтобы найти $c$:
$b + c = -b$
$1 + c = -1$
$c = -1 - 1$
$c = -2$

Таким образом, мы определили значения коэффициентов: $b=1$ и $c=-2$.

Выполним проверку. Если $b=1$ и $c=-2$, то исходное уравнение принимает вид:
$x^2 + x - 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или разложить на множители:
$(x + 2)(x - 1) = 0$
Отсюда корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Мы видим, что найденные корни ($1$ и $-2$) действительно равны коэффициентам $b$ и $c$. Условие $c \neq 0$ также выполняется.

Ответ: $b = 1$, $c = -2$.

776. Выразите через p и q сумму квадратов корней уравнения x² + px + q = 0.

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0 \\ {x}_1+x_2=-p \\ {x}_1·x_2=q \\ {x}_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2= \\ ={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={(-p)}^2-2q=p^2-2q \end{gathered}$$

Для того чтобы выразить сумму квадратов корней уравнения через его коэффициенты, воспользуемся теоремой Виета.
Дано приведенное квадратное уравнение: $x^2 + px + q = 0$.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — это корни данного уравнения.
Согласно теореме Виета, для этого уравнения выполняются следующие равенства:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
Нам необходимо найти значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.
Преобразуем это выражение, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Из нее следует, что $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
Применим эту формулу к корням нашего уравнения:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней, которые мы получили из теоремы Виета:
$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2(q)$
Упростив выражение, получаем окончательный результат:
$x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$

Ответ: $p^2 - 2q$

777. Известно, что сумма квадратов корней уравнения x² – 15x + q = 0 равна 153. Найдите q.

$$\begin{gathered} x^2-15x+q=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=153 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=153 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=153 \\ 15^2-2x_1{x}_2=153 \\ 2x_1{x}_2=225-153 \\ 2x_1{x}_2=72 \\ {x}_1{x}_2=36 \\ q=36 \end{gathered}$$

Ответ: 36

Дано квадратное уравнение $x^2 - 15x + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Применительно к нашему уравнению $x^2 - 15x + q = 0$, где $p = -15$, получаем:
$x_1 + x_2 = -(-15) = 15$
$x_1 \cdot x_2 = q$

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 153:
$x_1^2 + x_2^2 = 153$

Чтобы связать это условие с теоремой Виета, выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Возведем сумму корней в квадрат:
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
Из этого тождества можно выразить сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим известные нам значения в полученную формулу:
$x_1 + x_2 = 15$
$x_1 \cdot x_2 = q$
$x_1^2 + x_2^2 = 153$
Получаем уравнение:
$153 = (15)^2 - 2 \cdot q$

Решим это уравнение относительно $q$:
$153 = 225 - 2q$
$2q = 225 - 153$
$2q = 72$
$q = \frac{72}{2}$
$q = 36$

Для полноты решения убедимся, что при $q=36$ уравнение имеет действительные корни. Для этого проверим знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$
Поскольку $D = 81 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, условие задачи выполнимо.

Ответ: 36.

778. Квадрат разности корней уравнения x² + px + 405 = 0 равен 144. Найдите p.

$$\begin{gathered} x^2+px+405=0 \\ {\left(x_1-x_2\right)}^2=144 \\ {x}_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=144 \\ {x}_1^2+x_2^2-2·405=144 \\ {x}_1^2+x_2^2=144+810 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=954 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=954+2·405 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=1764 \\ {x}_1+x_2=\pm \sqrt{1764} \\ {x}_1+x_2=\pm 42 \\ {x}_1+x_2=-p=\pm 42;p=\pm 42 \end{gathered}$$

Ответ: ±42

Дано квадратное уравнение $x^2 + px + 405 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, квадрат разности этих корней равен 144. Это можно записать в виде уравнения:

$(x_1 - x_2)^2 = 144$

Для нахождения параметра $p$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = c$.

В нашем случае коэффициенты равны $b = p$ и $c = 405$. Таким образом, имеем:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = 405$

Теперь преобразуем выражение для квадрата разности корней, используя их сумму и произведение. Воспользуемся известным тождеством:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Подставим в это тождество известные нам значения:

$144 = (-p)^2 - 4 \cdot 405$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$144 = p^2 - 1620$

Выразим $p^2$, перенеся 1620 в левую часть:

$p^2 = 144 + 1620$

$p^2 = 1764$

Чтобы найти $p$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$p = \pm\sqrt{1764}$

Поскольку $42^2 = 1764$, получаем два возможных значения для $p$: $42$ и $-42$.

Ответ: $p = 42$ или $p = -42$.

779. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения 3x² + 2x + k = 0, причём 2x₁ = –3x₂. Найдите k.

$$\begin{gathered} 3x^2+2x+k=0,2x_1=-3x_2 \\ {x}^2+\frac{2}{3}x+\frac{k}{3}=0;x_1=-\frac{3}{2}{x}_2 \\ {x}_1+x_2=-\frac{2}{3} \\ -\frac{3}{2}{x}_2+x_2=-\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{2}{x}_2=-\frac{2}{3} \\ {x}_2=-\frac{2}{3}:\left(-\frac{1}{2}\right) \\ {x}_2=\frac{4}{3}{x}_1=-\frac{3}{2}·\frac{4}{3}=-2 \\ \frac{k}{3}=x_1{x}_2=\frac{4}{3}\left(-2\right)=-\frac{8}{3} \\ k=-\frac{24}{3}=-8 \end{gathered}$$

Ответ: -8

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В заданном уравнении $3x^2 + 2x + k = 0$ коэффициенты равны: $a=3$, $b=2$, $c=k$.
Применив теорему Виета, получим систему уравнений:
1) $x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}$
2) $x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{3}$

К этой системе добавим третье уравнение, данное в условии задачи:
3) $2x_1 = -3x_2$

Теперь решим полученную систему. Из третьего уравнения выразим $x_1$:
$x_1 = -\frac{3}{2}x_2$

Подставим это выражение для $x_1$ в первое уравнение системы:
$(-\frac{3}{2}x_2) + x_2 = -\frac{2}{3}$
$-\frac{1}{2}x_2 = -\frac{2}{3}$
Теперь найдем $x_2$, умножив обе части уравнения на -2:
$x_2 = (-\frac{2}{3}) \cdot (-2) = \frac{4}{3}$

Зная $x_2$, найдем $x_1$:
$x_1 = -\frac{3}{2} \cdot x_2 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = -2$

Теперь, когда мы нашли значения обоих корней, мы можем найти параметр $k$ из второго уравнения системы ($x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{3}$):
$(-2) \cdot \frac{4}{3} = \frac{k}{3}$
$-\frac{8}{3} = \frac{k}{3}$
Из этого равенства следует, что $k = -8$.

Ответ: $k = -8$.

780. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения x² – 8x + k = 0, причём 3x₁ + 4x₂ = 29. Найдите k.

$$\begin{gathered} x^2-8x+k=0 \\ \left\{\begin{array}{l}3x_1+4x_2=29\\ x_1+x_2=8\end{array}\right./·\left(-3\right) \left\{\begin{array}{l}3x_1+4x_2=29\\ -3x_1-3x_2=-24\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_2=5\\ x_1+x_2=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_2=5\\ x_1+5=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_2=5\\ x_1=8-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}{x}_2=5\\ x_1=3\end{array}\right. \\ k=x_1·x_2=3·5=15 \end{gathered}$$

Ответ: 15

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8x + k = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Также известно, что выполняется условие $3x_1 + 4x_2 = 29$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 8x + k = 0$ коэффициенты равны $p = -8$ и $q = k$. Применяя теорему Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = -(-8) = 8$

$x_1 \cdot x_2 = k$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $x_2$, составленную из соотношения по теореме Виета и условия из задачи:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ 3x_1 + 4x_2 = 29 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x_1$ через $x_2$:

$x_1 = 8 - x_2$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(8 - x_2) + 4x_2 = 29$

Раскроем скобки и найдем значение $x_2$:

$24 - 3x_2 + 4x_2 = 29$

$24 + x_2 = 29$

$x_2 = 29 - 24$

$x_2 = 5$

Зная $x_2$, найдем $x_1$:

$x_1 = 8 - x_2 = 8 - 5 = 3$

Итак, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Чтобы найти $k$, используем второе соотношение из теоремы Виета:

$k = x_1 \cdot x_2$

Подставим найденные значения корней:

$k = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: $15$