Страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

745. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:

a) $a^2+4a+11=a^2+4a+4+7={\left(a+2\right)}^2+7>0$

б) $\frac{x^2-2x+7}{19}=\frac{x^2-2x+1+6}{19}=\frac{{\left(x-1\right)}^2+6}{19}>0$

в) $m^2-4m+51=m^2-4m+4+47={\left(m-2\right)}^2+47>0$

г) $\frac{p^2-6p+18}{p^2+1}=\frac{p^2-6p+9+9}{p^2+1}=\frac{{\left(p-3\right)}^2+9}{p^2+1}>0$

д) $2b^2-8b+20=2\left(b^2-4b+10\right)=$
$$\begin{gathered} =2\left(b^2-4b+4+6\right)=2\left({\left(b-2\right)}^2+6\right)= \\ =2{\left(b-2\right)}^2+12>0 \end{gathered}$$

е) $\frac{2c^2+3}{c^2+12c+40}=\frac{2c^2+3}{{\left(c+6\right)}^2+4}>0$

а) Чтобы доказать, что выражение $a^2 + 4a + 11$ положительно при любом значении $a$, выделим в нем полный квадрат. Формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Представим выражение в виде: $a^2 + 4a + 11 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 11 = (a^2 + 4a + 4) + 7$.

Свернув полный квадрат, получим: $(a+2)^2 + 7$.

Выражение $(a+2)^2$ является квадратом действительного числа и поэтому всегда неотрицательно, то есть $(a+2)^2 \ge 0$ при любом $a$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(a+2)^2 + 7$ достигается при $(a+2)^2 = 0$ и равно $0 + 7 = 7$.

Поскольку $7 > 0$, то и все выражение $a^2 + 4a + 11$ всегда положительно, что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его можно представить в виде суммы неотрицательного числа $(a+2)^2$ и положительного числа $7$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 2x + 7}{19}$. Знаменатель дроби, $19$, является положительным числом. Чтобы доказать, что вся дробь положительна, достаточно доказать, что ее числитель $x^2 - 2x + 7$ всегда положителен.

Выделим полный квадрат в числителе: $x^2 - 2x + 7 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 7 = (x^2 - 2x + 1) + 6$.

Свернув полный квадрат, получим: $(x-1)^2 + 6$.

Выражение $(x-1)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Значит, наименьшее значение числителя равно $0 + 6 = 6$, что является положительным числом.

Так как числитель всегда положителен и знаменатель положителен, то и вся дробь всегда положительна.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его числитель $(x-1)^2+6$ всегда положителен, а знаменатель $19$ также положителен.

в) Докажем, что выражение $m^2 - 4m + 51$ положительно при любом $m$. Выделим полный квадрат.

$m^2 - 4m + 51 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 51 = (m^2 - 4m + 4) + 47$.

Свернув полный квадрат, получим: $(m-2)^2 + 47$.

Так как $(m-2)^2 \ge 0$ для любого $m$, то наименьшее значение всего выражения равно $0 + 47 = 47$.

Поскольку $47 > 0$, выражение $m^2 - 4m + 51$ всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как оно равно сумме неотрицательного числа $(m-2)^2$ и положительного числа $47$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1}$.

Сначала проанализируем знаменатель $p^2 + 1$. Так как $p^2 \ge 0$ для любого $p$, то $p^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, знаменатель всегда положителен.

Теперь проанализируем числитель $p^2 - 6p + 18$. Выделим в нем полный квадрат:

$p^2 - 6p + 18 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 18 = (p^2 - 6p + 9) + 9$.

Свернув полный квадрат, получим: $(p-3)^2 + 9$.

Выражение $(p-3)^2 \ge 0$ для любого $p$, поэтому наименьшее значение числителя равно $0 + 9 = 9$. Числитель всегда положителен.

Так как и числитель, и знаменатель дроби всегда положительны, то и все выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его числитель $(p-3)^2+9$ и знаменатель $p^2+1$ всегда положительны.

д) Докажем, что выражение $2b^2 - 8b + 20$ положительно. Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2(b^2 - 4b + 10)$.

Теперь докажем, что выражение в скобках $b^2 - 4b + 10$ всегда положительно. Выделим полный квадрат:

$b^2 - 4b + 10 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 10 = (b^2 - 4b + 4) + 6$.

Свернув полный квадрат, получим: $(b-2)^2 + 6$.

Так как $(b-2)^2 \ge 0$ для любого $b$, то наименьшее значение выражения в скобках равно $0 + 6 = 6$.

Таким образом, исходное выражение равно $2((b-2)^2 + 6)$. Поскольку выражение в скобках всегда положительно (не меньше 6), а множитель 2 также положителен, их произведение всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его можно представить в виде $2((b-2)^2 + 6)$, где оба множителя положительны.

е) Рассмотрим выражение $\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40}$.

Проанализируем числитель $2c^2 + 3$. Так как $c^2 \ge 0$ для любого $c$, то $2c^2 \ge 0$, а значит $2c^2 + 3 \ge 3$. Числитель всегда положителен.

Проанализируем знаменатель $c^2 + 12c + 40$. Выделим в нем полный квадрат:

$c^2 + 12c + 40 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2 - 6^2 + 40 = (c^2 + 12c + 36) + 4$.

Свернув полный квадрат, получим: $(c+6)^2 + 4$.

Так как $(c+6)^2 \ge 0$ для любого $c$, то наименьшее значение знаменателя равно $0 + 4 = 4$. Знаменатель всегда положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби всегда положительны, все выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его числитель $2c^2+3$ и знаменатель $(c+6)^2+4$ всегда положительны.

746. Используя выделение квадрата двучлена:

а) докажите, что наименьшим значением выражения x² – 8x + 27 является число 11;

б) найдите наименьшее значение выражения a² – 4a + 20.

a) $x^2-8x+27=x^2-8x+16+11={\left(x-4\right)}^2+11$

при x=4 наименьшее значение выражения равно 11;

б) $a^2-4a+20=a^2-4a+4+16={\left(a-2\right)}^2+16$

при a=2 наименьшее значение равно 16

а) Чтобы доказать, что наименьшим значением выражения $x^2 - 8x + 27$ является число 11, необходимо преобразовать его, выделив полный квадрат.

Метод выделения полного квадрата основан на формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 - 8x + 27$, член $x^2$ соответствует $a^2$ (значит, $a=x$), а член $-8x$ соответствует $-2ab$. Отсюда $-2xb = -8x$, что дает $b=4$. Следовательно, для полного квадрата нам нужен член $b^2 = 4^2 = 16$.

Представим исходное выражение, добавив и отняв 16, чтобы не изменить его значение:

$x^2 - 8x + 27 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 27$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и вычислим остаток:

$(x-4)^2 + 11$

Полученное выражение состоит из двух частей: слагаемого $(x-4)^2$ и константы 11. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то $(x-4)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x-4)^2$, равно 0. Это происходит, когда $x-4=0$, то есть при $x=4$.

Таким образом, наименьшее значение всего выражения будет равно сумме наименьшего значения $(x-4)^2$ и константы 11:

Наименьшее значение = $0 + 11 = 11$.

Это доказывает, что наименьшим значением выражения является 11.

Ответ: что и требовалось доказать.

б) Чтобы найти наименьшее значение выражения $a^2 - 4a + 20$, применим тот же метод выделения полного квадрата.

В выражении $a^2 - 4a + 20$ имеем $a^2$ и $-4a$. По формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a$, находим, что $-2ay = -4a$, откуда $y=2$. Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 2^2 = 4$.

Преобразуем выражение, добавив и вычтя 4:

$a^2 - 4a + 20 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 20$

Сгруппируем и упростим:

$(a-2)^2 + 16$

Выражение состоит из слагаемого $(a-2)^2$ и константы 16. Слагаемое $(a-2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a-2)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $a=2$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно сумме наименьшего значения $(a-2)^2$ и константы 16:

Наименьшее значение = $0 + 16 = 16$.

Ответ: 16.

747. Решите уравнение:

a) 4x²+7x+3-0

$$\begin{gathered} D=7^4-4·4·3=49-48=1 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{1}}{8}; x=\frac{-7\pm 1}{8} \\ {x}_1=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}; x_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$; -1

б) 2²+x-56-0

$$\begin{gathered} D=1^2-4·1·\left(-56\right)=1+224=225 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{225}}{2}; x=\frac{-1\pm 15}{2} \\ {x}_1=7; x_2=-8 \end{gathered}$$

Ответ: -8; 7

в) x²-x-56=0

$$\begin{gathered} D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-56\right)=1+224=225 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{225}}{2}; x=\frac{1\pm 15}{2} \\ {x}_1=8; x_2=-7 \end{gathered}$$

Ответ: -7: 8

г) $5x^2-18x+16=0$

$$\begin{gathered} D={\left(-18\right)}^2-4·5·16=324-320=4 \\ x=\frac{18\pm \sqrt{4}}{10}; x=\frac{18\pm 2}{10} \\ {x}_1=2; x_2=1,6 \end{gathered}$$

Ответ: 1,6; 2

д) 8x²+x-75-0

$$\begin{gathered} D=1^2-4·8·\left(-75\right)=1+2400=2401 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{2401}}{16}; x=\frac{-1\pm 49}{16} \\ {x}_1=\frac{48}{16}=3 \\ {x}_2=-\frac{50}{16}=-\frac{25}{8}=-3\frac{1}{8} \end{gathered}$$

Ответ: $-3\frac{1}{8}$; 3

e) 3x²-11x-14-0

$$\begin{gathered} D={\left(-11\right)}^2-4·3·\left(-14\right)=121+168=289 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{289}}{6}; x=\frac{11\pm 17}{6} \\ {x}_1=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3} \\ {x}_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: -1; $4\frac{2}{3}$

ж) 3x²+11x-34-0

$$\begin{gathered} D=11^2-4·3·\left(-34\right)=121+408=529 \\ x=\frac{-11\pm \sqrt{529}}{6}; x=\frac{-11\pm 23}{6} \\ {x}_1=2; x_2=\frac{-34}{6}=-\frac{17}{3}=-5\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $-5\frac{2}{3}$; 2

з) x²-x-1=0

$$\begin{gathered} D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-1\right)=1+4=5 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

а) $4x^2 + 7x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 4$, $b = 7$, $c = 3$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 + 1}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 - 1}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.

Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = -0.75$.

б) $x^2 + x - 56 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 1$, $c = -56$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 15}{2}$.

$x_1 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Ответ: $x_1 = -8$; $x_2 = 7$.

в) $x^2 - x - 56 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -1$, $c = -56$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 15}{2}$.

$x_1 = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Ответ: $x_1 = -7$; $x_2 = 8$.

г) $5x^2 - 18x + 16 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = -18$, $c = 16$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-18) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 \pm 2}{10}$.

$x_1 = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

$x_2 = \frac{18 - 2}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} = 1.6$.

Ответ: $x_1 = 1.6$; $x_2 = 2$.

д) $8x^2 + x - 75 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 8$, $b = 1$, $c = -75$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-75) = 1 + 2400 = 2401$.

Найдем корни уравнения ($\sqrt{2401}=49$):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{2401}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 \pm 49}{16}$.

$x_1 = \frac{-1 + 49}{16} = \frac{48}{16} = 3$.

$x_2 = \frac{-1 - 49}{16} = \frac{-50}{16} = -\frac{25}{8} = -3.125$.

Ответ: $x_1 = -3.125$; $x_2 = 3$.

е) $3x^2 - 11x - 14 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -11$, $c = -14$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289$.

Найдем корни уравнения ($\sqrt{289}=17$):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 17}{6}$.

$x_1 = \frac{11 + 17}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

$x_2 = \frac{11 - 17}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = \frac{14}{3}$.

ж) $3x^2 + 11x - 34 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 11$, $c = -34$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-34) = 121 + 408 = 529$.

Найдем корни уравнения ($\sqrt{529}=23$):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 \pm 23}{6}$.

$x_1 = \frac{-11 + 23}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{-11 - 23}{6} = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{17}{3}$; $x_2 = 2$.

з) $x^2 - x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -1$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$; $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

748. При каких значениях х верно равенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{\left(5x+3\right)}^{\mathbf{2}}=5\left(x+3\right) \\ 25x^2+30x+9=5x+15 \\ 25x^2+30x-5x+9-15=0 \\ 25x^2+25x-6=0 \\ D=25^2-4·25·\left(-6\right)=625+600=1225 \\ x=\frac{-25\pm \sqrt{1225}}{50}; x=\frac{-25\pm 35}{50} \\ {x}_1=\frac{1}{5}; x_2=-\frac{6}{5}=-1,2 \end{gathered}$$

Ответ: $-1,2; \frac{1}{5}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{\left(3x+10\right)}^2=3\left(x+10\right) \\ 9x^2+60x+100=3x+30 \\ 9x^2+60x-3x+100-30=0 \\ 9x^2+57x+70=0 \\ D=57^2-4·9·70=3249-2520=729 \\ x=\frac{-57\pm \sqrt{729}}{18}; x=\frac{-57\pm 27}{18} \\ {x}_1=-\frac{30}{18}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3} \\ {x}_2=-\frac{84}{18}=-\frac{42}{9}=-4\frac{6}{9}=-4\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $-1\frac{2}{3};-4\frac{2}{3}-1\backslash frac\{2\}\{3\};\; -4\backslash frac\{2\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(3x-8\right)}^{\mathbf{2}}=3x^2-8x \\ 9x^2-48x+64=3x^2-8x \\ 9x^2-48x+64-3x^2+8x=0 \\ 6x^2-40x+64=0 \mathrm{/}:2 \\ 3x^2-20x+32=0 \\ D={\left(-20\right)}^2-4·3·32=400-384=16 \\ x=\frac{20\pm \sqrt{16}}{6}; x=\frac{20\pm 4}{6} \\ {x}_1=4; x_2=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $4; 2\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(4x+5\right)}^{\mathbf{2}}=5x^2+4x \\ 16x^2+40x+25=5x^2+4x \\ 16x^2+40x+25-5x^2-4x=0 \\ 11x^2+36x+25=0 \\ D=36^2-4·11·25=1296-1100=196 \\ x=\frac{-36\pm \sqrt{196}}{22}; x=\frac{-36\pm 14}{22} \\ {x}_1=-1; x_2=-\frac{50}{22}=-\frac{25}{11}=-2\frac{3}{11} \end{gathered}$$

Ответ: $-2\frac{3}{11}; -1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} {\left(5x+3\right)}^2=5x+3 \\ {\left(5x+3\right)}^2-\left(5x+3\right)=0 \\ \left(5x+3\right)\left(5x+3-1\right)=0 \\ \left(5x+3\right)\left(5x+2\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}5x+3=0& \text{ или }& 5x+2=0\\ 5x=-3& & 5x=-2\\ x=-\frac{3}{5}& & x=-\frac{2}{5}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{3}{5};-\frac{2}{5}-\backslash frac\{3\}\{5\};\; -\backslash frac\{2\}\{5\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}{\left(5x+3\right)}^{\mathbf{2}}={\left(3x+5\right)}^2 \\ {\left(5x+3\right)}^2-{\left(3x+5\right)}^2=0 \\ \left(5x+3-\left(3x+5\right)\right)\left(5x+3+3x+5\right)=0 \\ \left(5x+3-3x-5\right)\left(8x+8\right)=0 \\ \left(2x-2\right)\left(8x+8\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}2x-2=0& \text{ или }& 8x+8=0\\ 2x=2& & 8x=-8\\ x=1& & x=-1\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $1; -1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}{\left(4x+5\right)}^{\mathbf{2}}=4{\left(x+5\right)}^2 \\ {\left(4x+5\right)}^2-{\left(2\left(x+5\right)\right)}^2=0 \\ \left(4x+5-2\left(x+5\right)\right)\left(4x+5+2\left(x+5\right)\right)=0 \\ \left(4x+5-2x-10\right)\left(4x+5+2x+10\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}2x-5=0& \text{ или }& 6x+15=0\\ 2x=5& & 6x=-15\\ x=2,5& & x=-2,5\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $-2,5; 2,5$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}{\left(2x+10\right)}^{\mathbf{2}}=4{\left(x+5\right)}^2 \\ {\left(2x+10\right)}^2-{\left(2\left(x+5\right)\right)}^2 \\ {\left(2(x+5)\right)}^2-{\left(2\left(x+5\right)\right)}^2 \\ \left(2(x+5)-2\left(x+5\right)\right)\left(2(x+5)+2\left(x+5\right)\right)=0 \\ \left(2x+10-2x-10\right)\left(2x+10+2x+10\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}2x-2x+10-10=0& \text{ или }& 4x+20=0\\ 0x=0& & 4x=-20\\ x - \text{любое число}& & x=-5\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: любое число

а) $(5x + 3)^2 = 5(x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой — распределительный закон.

$(5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2 = 5x + 15$

$25x^2 + 30x + 9 = 5x + 15$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

$25x^2 + 30x - 5x + 9 - 15 = 0$

$25x^2 + 25x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225 = 35^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-25 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0.2$

$x_2 = \frac{-25 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5} = -1.2$

Ответ: $x_1 = 0.2, x_2 = -1.2$.

б) $(3x + 10)^2 = 3(x + 10)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 10 + 10^2 = 3x + 30$

$9x^2 + 60x + 100 = 3x + 30$

Перенесем все члены в левую часть.

$9x^2 + 60x - 3x + 100 - 30 = 0$

$9x^2 + 57x + 70 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант.

$D = 57^2 - 4 \cdot 9 \cdot 70 = 3249 - 2520 = 729 = 27^2$

Найдем корни уравнения.

$x_1 = \frac{-57 + 27}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-57 - 27}{2 \cdot 9} = \frac{-84}{18} = -\frac{14}{3}$

Ответ: $x_1 = -\frac{5}{3}, x_2 = -\frac{14}{3}$.

в) $(3x - 8)^2 = 3x^2 - 8x$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 = 3x^2 - 8x$

$9x^2 - 48x + 64 = 3x^2 - 8x$

Перенесем все члены в левую часть.

$9x^2 - 3x^2 - 48x + 8x + 64 = 0$

$6x^2 - 40x + 64 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения.

$3x^2 - 20x + 32 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант.

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 400 - 384 = 16 = 4^2$

Найдем корни уравнения.

$x_1 = \frac{20 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{20 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{8}{3}$.

г) $(4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x$

Раскроем скобки в левой части.

$(4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 5x^2 + 4x$

$16x^2 + 40x + 25 = 5x^2 + 4x$

Перенесем все члены в левую часть.

$16x^2 - 5x^2 + 40x - 4x + 25 = 0$

$11x^2 + 36x + 25 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант.

$D = 36^2 - 4 \cdot 11 \cdot 25 = 1296 - 1100 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения.

$x_1 = \frac{-36 + 14}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1$

$x_2 = \frac{-36 - 14}{2 \cdot 11} = \frac{-50}{22} = -\frac{25}{11}$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -\frac{25}{11}$.

д) $(5x + 3)^2 = 5x + 3$

Перенесем выражение из правой части в левую.

$(5x + 3)^2 - (5x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x + 3)$ за скобки.

$(5x + 3)((5x + 3) - 1) = 0$

$(5x + 3)(5x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $5x + 3 = 0 \implies 5x = -3 \implies x = -3/5 = -0.6$

2) $5x + 2 = 0 \implies 5x = -2 \implies x = -2/5 = -0.4$

Ответ: $x_1 = -0.6, x_2 = -0.4$.

е) $(5x + 3)^2 = (3x + 5)^2$

Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

1) $5x + 3 = 3x + 5$

$5x - 3x = 5 - 3$

$2x = 2$

$x = 1$

2) $5x + 3 = -(3x + 5)$

$5x + 3 = -3x - 5$

$5x + 3x = -5 - 3$

$8x = -8$

$x = -1$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

ж) $(4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

Заметим, что правую часть можно представить как квадрат выражения: $4(x + 5)^2 = (2(x+5))^2 = (2x+10)^2$.

Уравнение принимает вид $(4x+5)^2 = (2x+10)^2$. Это уравнение вида $A^2 = B^2$.

1) $4x + 5 = 2x + 10$

$4x - 2x = 10 - 5$

$2x = 5$

$x = 5/2 = 2.5$

2) $4x + 5 = -(2x + 10)$

$4x + 5 = -2x - 10$

$4x + 2x = -10 - 5$

$6x = -15$

$x = -15/6 = -5/2 = -2.5$

Ответ: $x_1 = 2.5, x_2 = -2.5$.

з) $(2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2$

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общий множитель 2 за скобки.

$(2(x + 5))^2 = 4(x + 5)^2$

Возведем в квадрат множитель 2.

$2^2(x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

$4(x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

749. Решите уравнение и выполните проверку:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2-2x-5=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-5\right)=4+20=24 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{24}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2} \\ x=1\pm \sqrt{6} \end{gathered}$$

Если $x=1+\sqrt{6}x\; =\; 1\; +\; \backslash sqrt\{6\}$, то

$$\begin{gathered} {\left(1+\sqrt{6}\right)}^2-2\left(1+\sqrt{6}\right)-5= \\ =1+2\sqrt{6}+6-2-2\sqrt{6}-5=0, \end{gathered}$$

Если $x=1-\sqrt{6}x\; =\; 1\; -\; \backslash sqrt\{6\}$, то

$$\begin{gathered} {\left(1-\sqrt{6}\right)}^2-2\left(1-\sqrt{6}\right)-5= \\ =1-2\sqrt{6}+6-2+2\sqrt{6}-5=0 \end{gathered}$$

Ответ: $1-\sqrt{6}; 1+\sqrt{6}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+4x+1=0 \\ D=4^2-4·1·1=16-4=12 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}; x=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2} \\ x=-2\pm \sqrt{3} \end{gathered}$$

Если $x=-2+\sqrt{3}x\; =\; -2\; +\; \backslash sqrt\{3\}$, то

$$\begin{gathered} {\left(-2+\sqrt{3}\right)}^2+4\left(-2+\sqrt{3}\right)+1= \\ =4-4\sqrt{3}+3-8+4\sqrt{3}+1=0, \end{gathered}$$

Если $x=-2-\sqrt{3}x\; =\; -2\; -\; \backslash sqrt\{3\}$, то

$$\begin{gathered} {\left(-2-\sqrt{3}\right)}^2+4\left(-2-\sqrt{3}\right)+1= \\ =4+4\sqrt{3}+3-8-4\sqrt{3}+1=0 \end{gathered}$$

Ответ: $-2-\sqrt{3}; -2+\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3y^2-4y-2=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·3·\left(-2\right)=16+24=40 \\ y=\frac{4\pm \sqrt{40}}{6}; y=\frac{4\pm 2\sqrt{10}}{6} \\ y=\frac{2\left(2\pm \sqrt{10}\right)}{6}; y=\frac{2\pm \sqrt{10}}{3} \end{gathered}$$

Если $y=\frac{2+\sqrt{10}}{3}y\; =\; \backslash frac\{2\; +\; \backslash sqrt\{10\}\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} 3{\left(\frac{2+\sqrt{10}}{3}\right)}^2-4·\frac{2+\sqrt{10}}{3}-2= \\ =3·\frac{4+4\sqrt{10}+10}{9}-\frac{8+4\sqrt{10}}{3}-2= \\ =\frac{14+4\sqrt{10}-8-4\sqrt{10}}{3}-2=2-2=0 \end{gathered}$$

Если $y=\frac{2-\sqrt{10}}{3}y\; =\; \backslash frac\{2\; -\; \backslash sqrt\{10\}\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} 3{\left(\frac{2-\sqrt{10}}{3}\right)}^2-4·\frac{2-\sqrt{10}}{3}-2= \\ =3·\frac{4-4\sqrt{10}+10}{9}-\frac{8-4\sqrt{10}}{3}-2= \\ =\frac{14-4\sqrt{10}-8+4\sqrt{10}}{3}-2=2-2=0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2+\sqrt{10}}{3}; \frac{2-\sqrt{10}}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}5y^2-7y+1=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·5·1=49-20=29 \\ y=\frac{7\pm \sqrt{29}}{10} \end{gathered}$$

Если $y=\frac{7+\sqrt{29}}{10}y\; =\; \backslash frac\{7\; +\; \backslash sqrt\{29\}\}\{10\}$, то

$$\begin{gathered} 5{\left(\frac{7+\sqrt{29}}{10}\right)}^2-7·\frac{7+\sqrt{29}}{10}+1= \\ =5·\frac{49+14\sqrt{29}+29}{100}-\frac{49+7\sqrt{29}}{10}+1= \\ =\frac{49+14\sqrt{29}+29}{20}-\frac{98+14\sqrt{29}}{20}+1= \\ =\frac{78+14\sqrt{29}-98-14\sqrt{29}}{20}+1=-1+1=0 \end{gathered}$$

Если $y=\frac{7-\sqrt{29}}{10}y\; =\; \backslash frac\{7\; -\; \backslash sqrt\{29\}\}\{10\}$, то

$$\begin{gathered} 5{\left(\frac{7-\sqrt{29}}{10}\right)}^2-7·\frac{7-\sqrt{29}}{10}+1= \\ =5·\frac{49-14\sqrt{29}+29}{100}-\frac{49-7\sqrt{29}}{10}+1= \\ =\frac{78-14\sqrt{29}}{20}-\frac{98-14\sqrt{29}}{20}+1= \\ =\frac{78-14\sqrt{29}-98+14\sqrt{29}}{20}+1=-1+1=0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{7\pm \sqrt{29}}{10}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}2y^2+11y+10=0 \\ D=11^2-4·2·10=121-80=41 \\ y=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{4} \end{gathered}$$

Если $y=\frac{-11+\sqrt{41}}{4}y\; =\; \backslash frac\{-11+\backslash sqrt\{41\}\}\{4\}$, то

$$\begin{gathered} 2·{\left(\frac{-11+\sqrt{41}}{4}\right)}^2+11·\frac{-11+\sqrt{41}}{4}+10= \\ =2·\frac{121-22\sqrt{41}+41}{16}+\frac{-121+11\sqrt{41}}{4}+10= \\ =\frac{162-22\sqrt{41}}{8}+\frac{-242+22\sqrt{41}}{8}+10= \\ =\frac{162-22\sqrt{41}-242+22\sqrt{41}}{8}+10= \\ =-10+10=0 \end{gathered}$$

Если $y=\frac{-11-\sqrt{41}}{4}y\; =\; \backslash frac\{-11-\backslash sqrt\{41\}\}\{4\}$, то

$$\begin{gathered} 2·{\left(\frac{-11-\sqrt{41}}{4}\right)}^2+11·\frac{-11-\sqrt{41}}{4}+10= \\ =2·\frac{121+22\sqrt{41}+41}{16}+\frac{-121-11\sqrt{41}}{4}+10= \\ =\frac{162+22\sqrt{41}}{8}+\frac{-242-22\sqrt{41}}{8}+10= \\ =\frac{162+22\sqrt{41}-242-22\sqrt{41}}{8}+10= \\ =-10+10=0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{-11+\sqrt{41}}{4}\backslash frac\{-11+\backslash sqrt\{41\}\}\{4\}$; $\frac{-11-\sqrt{41}}{4}\backslash frac\{-11-\backslash sqrt\{41\}\}\{4\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}4x^2-9x-2=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·4·\left(-2\right)=81+32=113 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{113}}{8} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{9+\sqrt{113}}{8}x\; =\; \backslash frac\{9+\backslash sqrt\{113\}\}\{8\}$, то

$$\begin{gathered} 4·{\left(\frac{9+\sqrt{113}}{8}\right)}^2-9·\frac{9+\sqrt{113}}{8}-2= \\ =4·\frac{81+18\sqrt{113}+113}{64}-\frac{81+9\sqrt{113}}{8}-2= \\ =\frac{194+18\sqrt{113}}{16}-\frac{162+18\sqrt{113}}{16}-2= \\ =\frac{194+18\sqrt{113}-162-18\sqrt{113}}{16}-2=2-2=0 \end{gathered}$$

Если $x=\frac{9-\sqrt{113}}{8}x\; =\; \backslash frac\{9-\backslash sqrt\{113\}\}\{8\}$, то

$$\begin{gathered} 4·{\left(\frac{9-\sqrt{113}}{8}\right)}^2-9·\frac{9-\sqrt{113}}{8}-2= \\ =4·\frac{81-18\sqrt{113}+113}{64}-\frac{81-9\sqrt{113}}{8}-2= \\ =\frac{194-18\sqrt{113}}{16}-\frac{162-18\sqrt{113}}{16}-2= \\ =\frac{194-18\sqrt{113}-162+18\sqrt{113}}{16}-2=2-2=0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{9+\sqrt{113}}{8}\backslash frac\{9+\backslash sqrt\{113\}\}\{8\}$; $\frac{9-\sqrt{113}}{8}\backslash frac\{9-\backslash sqrt\{113\}\}\{8\}$

а) Решение уравнения $x^2 - 2x - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{6}$.
Проверка:
Для $x_1 = 1 + \sqrt{6}$: $(1 + \sqrt{6})^2 - 2(1 + \sqrt{6}) - 5 = (1 + 2\sqrt{6} + 6) - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 7 + 2\sqrt{6} - 7 - 2\sqrt{6} = 0$.
Для $x_2 = 1 - \sqrt{6}$: $(1 - \sqrt{6})^2 - 2(1 - \sqrt{6}) - 5 = (1 - 2\sqrt{6} + 6) - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 7 - 2\sqrt{6} - 7 + 2\sqrt{6} = 0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $1 + \sqrt{6}; 1 - \sqrt{6}$.

б) Решение уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=4, c=1$.
Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = -2 \pm \sqrt{3}$.
$x_1 = -2 + \sqrt{3}$, $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.
Проверка:
Для $x_1 = -2 + \sqrt{3}$: $(-2 + \sqrt{3})^2 + 4(-2 + \sqrt{3}) + 1 = (4 - 4\sqrt{3} + 3) - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 7 - 4\sqrt{3} - 7 + 4\sqrt{3} = 0$.
Для $x_2 = -2 - \sqrt{3}$: $(-2 - \sqrt{3})^2 + 4(-2 - \sqrt{3}) + 1 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 7 + 4\sqrt{3} - 7 - 4\sqrt{3} = 0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $-2 + \sqrt{3}; -2 - \sqrt{3}$.

в) Решение уравнения $3y^2 - 4y - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=3, b=-4, c=-2$.
Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40$.
$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
Корни: $y_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{10}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3}$.
$y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$, $y_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$.
Проверка:
Для $y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$: $3(\frac{2 + \sqrt{10}}{3})^2 - 4(\frac{2 + \sqrt{10}}{3}) - 2 = 3\frac{14+4\sqrt{10}}{9} - \frac{8+4\sqrt{10}}{3} - 2 = \frac{14+4\sqrt{10}}{3} - \frac{8+4\sqrt{10}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{14+4\sqrt{10}-8-4\sqrt{10}-6}{3} = 0$.
Для $y_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$: $3(\frac{2 - \sqrt{10}}{3})^2 - 4(\frac{2 - \sqrt{10}}{3}) - 2 = 3\frac{14-4\sqrt{10}}{9} - \frac{8-4\sqrt{10}}{3} - 2 = \frac{14-4\sqrt{10}}{3} - \frac{8-4\sqrt{10}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{14-4\sqrt{10}-8+4\sqrt{10}-6}{3} = 0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $\frac{2 + \sqrt{10}}{3}; \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$.

г) Решение уравнения $5y^2 - 7y + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=5, b=-7, c=1$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 - 20 = 29$.
$\sqrt{D} = \sqrt{29}$.
Корни: $y_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10}$.
$y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$, $y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$.
Проверка:
Для $y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$: $5(\frac{7+\sqrt{29}}{10})^2 - 7(\frac{7+\sqrt{29}}{10}) + 1 = 5\frac{78+14\sqrt{29}}{100} - \frac{49+7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78+14\sqrt{29}}{20} - \frac{98+14\sqrt{29}}{20} + \frac{20}{20} = \frac{78+14\sqrt{29}-98-14\sqrt{29}+20}{20}=0$.
Для $y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$: $5(\frac{7-\sqrt{29}}{10})^2 - 7(\frac{7-\sqrt{29}}{10}) + 1 = 5\frac{78-14\sqrt{29}}{100} - \frac{49-7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78-14\sqrt{29}}{20} - \frac{98-14\sqrt{29}}{20} + \frac{20}{20} = \frac{78-14\sqrt{29}-98+14\sqrt{29}+20}{20}=0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $\frac{7 + \sqrt{29}}{10}; \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$.

д) Решение уравнения $2y^2 + 11y + 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=11, c=10$.
Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 - 80 = 41$.
$\sqrt{D} = \sqrt{41}$.
Корни: $y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4}$.
$y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$, $y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$.
Проверка:
Для $y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$: $2(\frac{-11+\sqrt{41}}{4})^2+11(\frac{-11+\sqrt{41}}{4})+10=2\frac{162-22\sqrt{41}}{16}+\frac{-121+11\sqrt{41}}{4}+10=\frac{162-22\sqrt{41}}{8}+\frac{-242+22\sqrt{41}}{8}+\frac{80}{8}=\frac{162-242+80}{8}=0$.
Для $y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$: $2(\frac{-11-\sqrt{41}}{4})^2+11(\frac{-11-\sqrt{41}}{4})+10=2\frac{162+22\sqrt{41}}{16}+\frac{-121-11\sqrt{41}}{4}+10=\frac{162+22\sqrt{41}}{8}+\frac{-242-22\sqrt{41}}{8}+\frac{80}{8}=\frac{162-242+80}{8}=0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}; \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$.

е) Решение уравнения $4x^2 - 9x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=4, b=-9, c=-2$.
Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113$.
$\sqrt{D} = \sqrt{113}$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8}$.
$x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$, $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$.
Проверка:
Для $x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$: $4(\frac{9+\sqrt{113}}{8})^2-9(\frac{9+\sqrt{113}}{8})-2=4\frac{194+18\sqrt{113}}{64}-\frac{81+9\sqrt{113}}{8}-2=\frac{194+18\sqrt{113}}{16}-\frac{162+18\sqrt{113}}{16}-\frac{32}{16}=\frac{194-162-32}{16}=0$.
Для $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$: $4(\frac{9-\sqrt{113}}{8})^2-9(\frac{9-\sqrt{113}}{8})-2=4\frac{194-18\sqrt{113}}{64}-\frac{81-9\sqrt{113}}{8}-2=\frac{194-18\sqrt{113}}{16}-\frac{162-18\sqrt{113}}{16}-\frac{32}{16}=\frac{194-162-32}{16}=0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $\frac{9 + \sqrt{113}}{8}; \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$.

750. Найдите приближённые значения корней уравнения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2-2x-2=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=4+8=12 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{12}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2} \\ {x}_1=1+\sqrt{3}\approx 1+1,73=2,73 \\ {x}_2=1-\sqrt{3}\approx 1-1,73=-0,73 \end{gathered}$$

Ответ: ≈2,73; ≈-0,73

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+5x+3=0 \\ D=5^2-4·1·3=25-12=13 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2} \\ {x}_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}\approx \frac{-5+3,61}{2}=\frac{-1,39}{2}=-0,70 \\ {x}_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}\approx \frac{-5-3,61}{2}=\frac{-8,61}{2}\approx -4,31 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-0,70; ≈-4,31

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3x^2-7x+3=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·3·3=49-36=13 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{13}}{6} \\ {x}_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6}\approx \frac{7+3,61}{6}\approx 1,77 \\ {x}_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}\approx \frac{7-3,61}{6}\approx 0,57 \end{gathered}$$

Ответ: ≈1,77; ≈0,57

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}5x^2+31x+20=0 \\ D=31^2-4·5·20=961-400=561 \\ x=\frac{-31\pm \sqrt{561}}{10} \\ {x}_1=\frac{-31+\sqrt{561}}{10}\approx \frac{-31+23,69}{10}= \\ =\frac{-7,31}{10}\approx -0,73 \\ {x}_2=\frac{-31-\sqrt{561}}{10}\approx \frac{-31-23,69}{10}= \\ =\frac{-54,69}{10}\approx -5,47 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-0,73; ≈-5,47

а) $x^2 - 2x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Для нахождения приближенных значений воспользуемся значением $\sqrt{3} \approx 1.73205...$
$x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.73205 = 2.73205 \approx 2.73$.
$x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.73205 = -0.73205 \approx -0.73$.
Ответ: $x_1 \approx 2.73$, $x_2 \approx -0.73$.

б) $x^2 + 5x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=5$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Используем приближенное значение $\sqrt{13} \approx 3.60555...$
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 + 3.60555}{2} = \frac{-1.39445}{2} = -0.697225 \approx -0.70$.
$x_2 = \frac-5 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 - 3.60555}{2} = \frac{-8.60555}{2} = -4.302775 \approx -4.30$.
Ответ: $x_1 \approx -0.70$, $x_2 \approx -4.30$.

в) $3x^2 - 7x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-7$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$.
Используем приближенное значение $\sqrt{13} \approx 3.60555...$
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6} \approx \frac{7 + 3.60555}{6} = \frac{10.60555}{6} = 1.76759... \approx 1.77$.
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6} \approx \frac{7 - 3.60555}{6} = \frac{3.39445}{6} = 0.56574... \approx 0.57$.
Ответ: $x_1 \approx 1.77$, $x_2 \approx 0.57$.

г) $5x^2 + 31x + 20 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=31$, $c=20$.
Вычислим дискриминант: $D = 31^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 961 - 400 = 561$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-31 \pm \sqrt{561}}{2 \cdot 5} = \frac{-31 \pm \sqrt{561}}{10}$.
Используем приближенное значение $\sqrt{561} \approx 23.68543...$
$x_1 = \frac{-31 + \sqrt{561}}{10} \approx \frac{-31 + 23.68543}{10} = \frac{-7.31457}{10} = -0.731457 \approx -0.73$.
$x_2 = \frac{-31 - \sqrt{561}}{10} \approx \frac{-31 - 23.68543}{10} = \frac{-54.68543}{10} = -5.468543 \approx -5.47$.
Ответ: $x_1 \approx -0.73$, $x_2 \approx -5.47$.

751. Выясните, при каких значениях переменной:

а) трёхчлен a² + 7a + 6 и двучлен a + 1 принимают равные значения;

б) трёхчлены 3x² – x + 1 и 2x² + 5x – 4 принимают равные значения.

Найдите эти значения.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{a}^2+7a+6=a+1 \\ {a}^2+7a-a+6-1=0 \\ {a}^2+6a+5=0 \\ D=6^2-4·1·5=36-20=16 \\ a=\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}; a=\frac{-6\pm 4}{2} \\ {a}_1=-1; a_2=-5 \end{gathered}$$

Ответ: при $a=-1; a=-5$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3x^2-x+1=2x^2+5x-4 \\ 3x^2-x+1-2x^2-5x+4=0 \\ {x}^2-6x+5=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·5=36-20=16 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{6\pm 4}{2} \\ {x}_1=5; x_2=1 \end{gathered}$$

Ответ: а) при $a=-1; a=-5;$

б) при $a=1; a=5$

а)

Чтобы найти значения переменной $a$, при которых трёхчлен $a^2 + 7a + 6$ и двучлен $a + 1$ принимают равные значения, необходимо приравнять эти выражения. Составим и решим уравнение:

$a^2 + 7a + 6 = a + 1$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$a^2 + 7a - a + 6 - 1 = 0$

$a^2 + 6a + 5 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = -6$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 5$. Отсюда находим корни: $a_1 = -5$ и $a_2 = -1$.

Таким образом, выражения принимают равные значения при $a = -5$ и $a = -1$.

Теперь найдём эти равные значения, подставив найденные корни в одно из исходных выражений. Удобнее использовать двучлен $a + 1$.

Если $a = -5$, то значение выражения равно $-5 + 1 = -4$.

Если $a = -1$, то значение выражения равно $-1 + 1 = 0$.

Ответ: при $a = -5$ значение выражений равно -4; при $a = -1$ значение выражений равно 0.

б)

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых трёхчлены $3x^2 - x + 1$ и $2x^2 + 5x - 4$ принимают равные значения, приравняем их:

$3x^2 - x + 1 = 2x^2 + 5x - 4$

Перенесём все члены уравнения в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$3x^2 - 2x^2 - x - 5x + 1 + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 5$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, выражения равны при $x = 1$ и $x = 5$.

Теперь найдём эти равные значения. Подставим найденные значения $x$ в одно из исходных выражений, например, в $3x^2 - x + 1$.

Если $x = 1$, то значение выражения равно $3(1)^2 - 1 + 1 = 3 - 1 + 1 = 3$.

Если $x = 5$, то значение выражения равно $3(5)^2 - 5 + 1 = 3 \cdot 25 - 5 + 1 = 75 - 4 = 71$.

Ответ: при $x = 1$ значение выражений равно 3; при $x = 5$ значение выражений равно 71.

752. При каком значении а один из корней уравнения ax² – 3x – 5 = 0 равен 1? Найдите, чему равен при этом значении a второй корень.

$$\begin{gathered} a{x}^2-3x-5=0 \\ {x}_1=1 \\ a·1^2-3·1-5=0 \\ a-3-5=0 \\ a=8 \\ 8x^2-3x-5=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·8·\left(-5\right)=9+160=169 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{169}}{16}; x=\frac{3\pm 13}{16} \\ {x}_1=1; x_2=\frac{-10}{16}=-\frac{5}{8} \end{gathered}$$

Ответ: при $a=8; x_2=-\frac{5}{8}$

При каком значении a один из корней уравнения $ax^2 - 3x - 5 = 0$ равен 1?

По условию задачи, один из корней уравнения, который мы обозначим как $x_1$, равен 1. Если число является корнем уравнения, то при подстановке этого числа вместо переменной $x$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство.

Подставим значение $x = 1$ в исходное уравнение: $a \cdot (1)^2 - 3 \cdot (1) - 5 = 0$

Теперь решим это уравнение относительно переменной $a$: $a \cdot 1 - 3 - 5 = 0$ $a - 8 = 0$ $a = 8$

Таким образом, при $a = 8$ один из корней уравнения будет равен 1.

Ответ: $a = 8$.

Найдите, чему равен при этом значении a второй корень.

Мы нашли, что $a = 8$. Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы получить конкретное квадратное уравнение: $8x^2 - 3x - 5 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем уравнении $8x^2 - 3x - 5 = 0$ коэффициенты равны: $A=8$, $B=-3$, $C=-5$. Мы уже знаем один корень $x_1 = 1$. Используем формулу для произведения корней, чтобы найти $x_2$: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$ $1 \cdot x_2 = \frac{-5}{8}$ $x_2 = -\frac{5}{8}$

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$ $1 + x_2 = -\frac{-3}{8}$ $1 + x_2 = \frac{3}{8}$ $x_2 = \frac{3}{8} - 1 = \frac{3}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{5}{8}$

Оба метода дают одинаковый результат, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: второй корень равен $-\frac{5}{8}$.

753. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних.

Пусть x, x+1, x+2, x+3, x+4 - пять последовательных целых чисел.

По условию задачи составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x^2+{\left(x+1\right)}^2+{\left(x+2\right)}^2={\left(x+3\right)}^2+{\left(x+4\right)}^2 \\ {x}^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4= \\ =x^2+6x+9+x^2+8x+16 \\ 3x^2+6x+5=2x^2+14x+25 \\ 3x^2-2x^2+6x-14x+5-25=0 \\ {x}^2-8x-20=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·1·\left(-20\right)=64+80=144 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{144}}{2}; x=\frac{8\pm 12}{2} \\ {x}_1=10; x_2=-2 \end{gathered}$$

Если $x=10x\; =\; 10$, то $x+1=11x+1\; =\; 11$; $x+2=12x+2\; =\; 12$; $x+3=13;$ $x+4=14$

Если $x=-2x\; =\; -2$, то $x+1=-1x+1\; =\; -1$; $x+2=0x+2\; =\; 0$; $x+3=1x+3\; =\; 1$; $x+4=2x+4\; =\; 2$

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2 или 10; 11; 12; 13; 14

Обозначим пять последовательных целых чисел через переменную. Чтобы упростить вычисления, удобно выбрать за $n$ среднее из этих чисел. Тогда искомая последовательность имеет вид: $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$, где $n$ — целое число.

По условию задачи, сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов двух последних. Запишем это в виде уравнения: $$ (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 = (n+1)^2 + (n+2)^2 $$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$: $$ (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 = (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) $$

Упростим обе части уравнения, приведя подобные слагаемые: $$ 3n^2 - 6n + 5 = 2n^2 + 6n + 5 $$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные члены: $$ (3n^2 - 2n^2) + (-6n - 6n) + (5 - 5) = 0 $$ $$ n^2 - 12n = 0 $$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $n$ за скобку: $$ n(n - 12) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: $n_1 = 0$ и $n_2 = 12$.

Таким образом, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи. Найдем их, подставив найденные значения $n$ в исходное представление последовательности.

1. При $n = 0$ получаем последовательность:
$0-2, 0-1, 0, 0+1, 0+2$, что дает числа $-2, -1, 0, 1, 2$.
Проверка: Сумма квадратов первых трёх чисел: $(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5$. Сумма квадратов последних двух чисел: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5=5$ выполняется.

2. При $n = 12$ получаем последовательность:
$12-2, 12-1, 12, 12+1, 12+2$, что дает числа $10, 11, 12, 13, 14$.
Проверка: Сумма квадратов первых трёх чисел: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$. Сумма квадратов последних двух чисел: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$. Равенство $365=365$ выполняется.

Ответ: $-2, -1, 0, 1, 2$ или $10, 11, 12, 13, 14$.