Номер 749, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 749, страница 175.

749. Решите уравнение и выполните проверку:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2-2x-5=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-5\right)=4+20=24 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{24}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2} \\ x=1\pm \sqrt{6} \end{gathered}$$

Если $x=1+\sqrt{6}x\; =\; 1\; +\; \backslash sqrt\{6\}$, то

$$\begin{gathered} {\left(1+\sqrt{6}\right)}^2-2\left(1+\sqrt{6}\right)-5= \\ =1+2\sqrt{6}+6-2-2\sqrt{6}-5=0, \end{gathered}$$

Если $x=1-\sqrt{6}x\; =\; 1\; -\; \backslash sqrt\{6\}$, то

$$\begin{gathered} {\left(1-\sqrt{6}\right)}^2-2\left(1-\sqrt{6}\right)-5= \\ =1-2\sqrt{6}+6-2+2\sqrt{6}-5=0 \end{gathered}$$

Ответ: $1-\sqrt{6}; 1+\sqrt{6}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+4x+1=0 \\ D=4^2-4·1·1=16-4=12 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}; x=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2} \\ x=-2\pm \sqrt{3} \end{gathered}$$

Если $x=-2+\sqrt{3}x\; =\; -2\; +\; \backslash sqrt\{3\}$, то

$$\begin{gathered} {\left(-2+\sqrt{3}\right)}^2+4\left(-2+\sqrt{3}\right)+1= \\ =4-4\sqrt{3}+3-8+4\sqrt{3}+1=0, \end{gathered}$$

Если $x=-2-\sqrt{3}x\; =\; -2\; -\; \backslash sqrt\{3\}$, то

$$\begin{gathered} {\left(-2-\sqrt{3}\right)}^2+4\left(-2-\sqrt{3}\right)+1= \\ =4+4\sqrt{3}+3-8-4\sqrt{3}+1=0 \end{gathered}$$

Ответ: $-2-\sqrt{3}; -2+\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3y^2-4y-2=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·3·\left(-2\right)=16+24=40 \\ y=\frac{4\pm \sqrt{40}}{6}; y=\frac{4\pm 2\sqrt{10}}{6} \\ y=\frac{2\left(2\pm \sqrt{10}\right)}{6}; y=\frac{2\pm \sqrt{10}}{3} \end{gathered}$$

Если $y=\frac{2+\sqrt{10}}{3}y\; =\; \backslash frac\{2\; +\; \backslash sqrt\{10\}\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} 3{\left(\frac{2+\sqrt{10}}{3}\right)}^2-4·\frac{2+\sqrt{10}}{3}-2= \\ =3·\frac{4+4\sqrt{10}+10}{9}-\frac{8+4\sqrt{10}}{3}-2= \\ =\frac{14+4\sqrt{10}-8-4\sqrt{10}}{3}-2=2-2=0 \end{gathered}$$

Если $y=\frac{2-\sqrt{10}}{3}y\; =\; \backslash frac\{2\; -\; \backslash sqrt\{10\}\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} 3{\left(\frac{2-\sqrt{10}}{3}\right)}^2-4·\frac{2-\sqrt{10}}{3}-2= \\ =3·\frac{4-4\sqrt{10}+10}{9}-\frac{8-4\sqrt{10}}{3}-2= \\ =\frac{14-4\sqrt{10}-8+4\sqrt{10}}{3}-2=2-2=0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2+\sqrt{10}}{3}; \frac{2-\sqrt{10}}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}5y^2-7y+1=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·5·1=49-20=29 \\ y=\frac{7\pm \sqrt{29}}{10} \end{gathered}$$

Если $y=\frac{7+\sqrt{29}}{10}y\; =\; \backslash frac\{7\; +\; \backslash sqrt\{29\}\}\{10\}$, то

$$\begin{gathered} 5{\left(\frac{7+\sqrt{29}}{10}\right)}^2-7·\frac{7+\sqrt{29}}{10}+1= \\ =5·\frac{49+14\sqrt{29}+29}{100}-\frac{49+7\sqrt{29}}{10}+1= \\ =\frac{49+14\sqrt{29}+29}{20}-\frac{98+14\sqrt{29}}{20}+1= \\ =\frac{78+14\sqrt{29}-98-14\sqrt{29}}{20}+1=-1+1=0 \end{gathered}$$

Если $y=\frac{7-\sqrt{29}}{10}y\; =\; \backslash frac\{7\; -\; \backslash sqrt\{29\}\}\{10\}$, то

$$\begin{gathered} 5{\left(\frac{7-\sqrt{29}}{10}\right)}^2-7·\frac{7-\sqrt{29}}{10}+1= \\ =5·\frac{49-14\sqrt{29}+29}{100}-\frac{49-7\sqrt{29}}{10}+1= \\ =\frac{78-14\sqrt{29}}{20}-\frac{98-14\sqrt{29}}{20}+1= \\ =\frac{78-14\sqrt{29}-98+14\sqrt{29}}{20}+1=-1+1=0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{7\pm \sqrt{29}}{10}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}2y^2+11y+10=0 \\ D=11^2-4·2·10=121-80=41 \\ y=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{4} \end{gathered}$$

Если $y=\frac{-11+\sqrt{41}}{4}y\; =\; \backslash frac\{-11+\backslash sqrt\{41\}\}\{4\}$, то

$$\begin{gathered} 2·{\left(\frac{-11+\sqrt{41}}{4}\right)}^2+11·\frac{-11+\sqrt{41}}{4}+10= \\ =2·\frac{121-22\sqrt{41}+41}{16}+\frac{-121+11\sqrt{41}}{4}+10= \\ =\frac{162-22\sqrt{41}}{8}+\frac{-242+22\sqrt{41}}{8}+10= \\ =\frac{162-22\sqrt{41}-242+22\sqrt{41}}{8}+10= \\ =-10+10=0 \end{gathered}$$

Если $y=\frac{-11-\sqrt{41}}{4}y\; =\; \backslash frac\{-11-\backslash sqrt\{41\}\}\{4\}$, то

$$\begin{gathered} 2·{\left(\frac{-11-\sqrt{41}}{4}\right)}^2+11·\frac{-11-\sqrt{41}}{4}+10= \\ =2·\frac{121+22\sqrt{41}+41}{16}+\frac{-121-11\sqrt{41}}{4}+10= \\ =\frac{162+22\sqrt{41}}{8}+\frac{-242-22\sqrt{41}}{8}+10= \\ =\frac{162+22\sqrt{41}-242-22\sqrt{41}}{8}+10= \\ =-10+10=0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{-11+\sqrt{41}}{4}\backslash frac\{-11+\backslash sqrt\{41\}\}\{4\}$; $\frac{-11-\sqrt{41}}{4}\backslash frac\{-11-\backslash sqrt\{41\}\}\{4\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}4x^2-9x-2=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·4·\left(-2\right)=81+32=113 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{113}}{8} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{9+\sqrt{113}}{8}x\; =\; \backslash frac\{9+\backslash sqrt\{113\}\}\{8\}$, то

$$\begin{gathered} 4·{\left(\frac{9+\sqrt{113}}{8}\right)}^2-9·\frac{9+\sqrt{113}}{8}-2= \\ =4·\frac{81+18\sqrt{113}+113}{64}-\frac{81+9\sqrt{113}}{8}-2= \\ =\frac{194+18\sqrt{113}}{16}-\frac{162+18\sqrt{113}}{16}-2= \\ =\frac{194+18\sqrt{113}-162-18\sqrt{113}}{16}-2=2-2=0 \end{gathered}$$

Если $x=\frac{9-\sqrt{113}}{8}x\; =\; \backslash frac\{9-\backslash sqrt\{113\}\}\{8\}$, то

$$\begin{gathered} 4·{\left(\frac{9-\sqrt{113}}{8}\right)}^2-9·\frac{9-\sqrt{113}}{8}-2= \\ =4·\frac{81-18\sqrt{113}+113}{64}-\frac{81-9\sqrt{113}}{8}-2= \\ =\frac{194-18\sqrt{113}}{16}-\frac{162-18\sqrt{113}}{16}-2= \\ =\frac{194-18\sqrt{113}-162+18\sqrt{113}}{16}-2=2-2=0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{9+\sqrt{113}}{8}\backslash frac\{9+\backslash sqrt\{113\}\}\{8\}$; $\frac{9-\sqrt{113}}{8}\backslash frac\{9-\backslash sqrt\{113\}\}\{8\}$

а) Решение уравнения $x^2 - 2x - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{6}$.
Проверка:
Для $x_1 = 1 + \sqrt{6}$: $(1 + \sqrt{6})^2 - 2(1 + \sqrt{6}) - 5 = (1 + 2\sqrt{6} + 6) - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 7 + 2\sqrt{6} - 7 - 2\sqrt{6} = 0$.
Для $x_2 = 1 - \sqrt{6}$: $(1 - \sqrt{6})^2 - 2(1 - \sqrt{6}) - 5 = (1 - 2\sqrt{6} + 6) - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 7 - 2\sqrt{6} - 7 + 2\sqrt{6} = 0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $1 + \sqrt{6}; 1 - \sqrt{6}$.

б) Решение уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=4, c=1$.
Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = -2 \pm \sqrt{3}$.
$x_1 = -2 + \sqrt{3}$, $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.
Проверка:
Для $x_1 = -2 + \sqrt{3}$: $(-2 + \sqrt{3})^2 + 4(-2 + \sqrt{3}) + 1 = (4 - 4\sqrt{3} + 3) - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 7 - 4\sqrt{3} - 7 + 4\sqrt{3} = 0$.
Для $x_2 = -2 - \sqrt{3}$: $(-2 - \sqrt{3})^2 + 4(-2 - \sqrt{3}) + 1 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 7 + 4\sqrt{3} - 7 - 4\sqrt{3} = 0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $-2 + \sqrt{3}; -2 - \sqrt{3}$.

в) Решение уравнения $3y^2 - 4y - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=3, b=-4, c=-2$.
Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40$.
$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
Корни: $y_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{10}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3}$.
$y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$, $y_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$.
Проверка:
Для $y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$: $3(\frac{2 + \sqrt{10}}{3})^2 - 4(\frac{2 + \sqrt{10}}{3}) - 2 = 3\frac{14+4\sqrt{10}}{9} - \frac{8+4\sqrt{10}}{3} - 2 = \frac{14+4\sqrt{10}}{3} - \frac{8+4\sqrt{10}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{14+4\sqrt{10}-8-4\sqrt{10}-6}{3} = 0$.
Для $y_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$: $3(\frac{2 - \sqrt{10}}{3})^2 - 4(\frac{2 - \sqrt{10}}{3}) - 2 = 3\frac{14-4\sqrt{10}}{9} - \frac{8-4\sqrt{10}}{3} - 2 = \frac{14-4\sqrt{10}}{3} - \frac{8-4\sqrt{10}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{14-4\sqrt{10}-8+4\sqrt{10}-6}{3} = 0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $\frac{2 + \sqrt{10}}{3}; \frac{2 - \sqrt{10}}{3}$.

г) Решение уравнения $5y^2 - 7y + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=5, b=-7, c=1$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 - 20 = 29$.
$\sqrt{D} = \sqrt{29}$.
Корни: $y_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10}$.
$y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$, $y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$.
Проверка:
Для $y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$: $5(\frac{7+\sqrt{29}}{10})^2 - 7(\frac{7+\sqrt{29}}{10}) + 1 = 5\frac{78+14\sqrt{29}}{100} - \frac{49+7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78+14\sqrt{29}}{20} - \frac{98+14\sqrt{29}}{20} + \frac{20}{20} = \frac{78+14\sqrt{29}-98-14\sqrt{29}+20}{20}=0$.
Для $y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$: $5(\frac{7-\sqrt{29}}{10})^2 - 7(\frac{7-\sqrt{29}}{10}) + 1 = 5\frac{78-14\sqrt{29}}{100} - \frac{49-7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78-14\sqrt{29}}{20} - \frac{98-14\sqrt{29}}{20} + \frac{20}{20} = \frac{78-14\sqrt{29}-98+14\sqrt{29}+20}{20}=0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $\frac{7 + \sqrt{29}}{10}; \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$.

д) Решение уравнения $2y^2 + 11y + 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=11, c=10$.
Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 - 80 = 41$.
$\sqrt{D} = \sqrt{41}$.
Корни: $y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4}$.
$y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$, $y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$.
Проверка:
Для $y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$: $2(\frac{-11+\sqrt{41}}{4})^2+11(\frac{-11+\sqrt{41}}{4})+10=2\frac{162-22\sqrt{41}}{16}+\frac{-121+11\sqrt{41}}{4}+10=\frac{162-22\sqrt{41}}{8}+\frac{-242+22\sqrt{41}}{8}+\frac{80}{8}=\frac{162-242+80}{8}=0$.
Для $y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$: $2(\frac{-11-\sqrt{41}}{4})^2+11(\frac{-11-\sqrt{41}}{4})+10=2\frac{162+22\sqrt{41}}{16}+\frac{-121-11\sqrt{41}}{4}+10=\frac{162+22\sqrt{41}}{8}+\frac{-242-22\sqrt{41}}{8}+\frac{80}{8}=\frac{162-242+80}{8}=0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}; \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$.

е) Решение уравнения $4x^2 - 9x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=4, b=-9, c=-2$.
Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113$.
$\sqrt{D} = \sqrt{113}$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8}$.
$x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$, $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$.
Проверка:
Для $x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$: $4(\frac{9+\sqrt{113}}{8})^2-9(\frac{9+\sqrt{113}}{8})-2=4\frac{194+18\sqrt{113}}{64}-\frac{81+9\sqrt{113}}{8}-2=\frac{194+18\sqrt{113}}{16}-\frac{162+18\sqrt{113}}{16}-\frac{32}{16}=\frac{194-162-32}{16}=0$.
Для $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$: $4(\frac{9-\sqrt{113}}{8})^2-9(\frac{9-\sqrt{113}}{8})-2=4\frac{194-18\sqrt{113}}{64}-\frac{81-9\sqrt{113}}{8}-2=\frac{194-18\sqrt{113}}{16}-\frac{162-18\sqrt{113}}{16}-\frac{32}{16}=\frac{194-162-32}{16}=0$.
Оба корня найдены верно.
Ответ: $\frac{9 + \sqrt{113}}{8}; \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$.