Номер 748, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 748, страница 175.

748. При каких значениях х верно равенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{\left(5x+3\right)}^{\mathbf{2}}=5\left(x+3\right) \\ 25x^2+30x+9=5x+15 \\ 25x^2+30x-5x+9-15=0 \\ 25x^2+25x-6=0 \\ D=25^2-4·25·\left(-6\right)=625+600=1225 \\ x=\frac{-25\pm \sqrt{1225}}{50}; x=\frac{-25\pm 35}{50} \\ {x}_1=\frac{1}{5}; x_2=-\frac{6}{5}=-1,2 \end{gathered}$$

Ответ: $-1,2; \frac{1}{5}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{\left(3x+10\right)}^2=3\left(x+10\right) \\ 9x^2+60x+100=3x+30 \\ 9x^2+60x-3x+100-30=0 \\ 9x^2+57x+70=0 \\ D=57^2-4·9·70=3249-2520=729 \\ x=\frac{-57\pm \sqrt{729}}{18}; x=\frac{-57\pm 27}{18} \\ {x}_1=-\frac{30}{18}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3} \\ {x}_2=-\frac{84}{18}=-\frac{42}{9}=-4\frac{6}{9}=-4\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $-1\frac{2}{3};-4\frac{2}{3}-1\backslash frac\{2\}\{3\};\; -4\backslash frac\{2\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(3x-8\right)}^{\mathbf{2}}=3x^2-8x \\ 9x^2-48x+64=3x^2-8x \\ 9x^2-48x+64-3x^2+8x=0 \\ 6x^2-40x+64=0 \mathrm{/}:2 \\ 3x^2-20x+32=0 \\ D={\left(-20\right)}^2-4·3·32=400-384=16 \\ x=\frac{20\pm \sqrt{16}}{6}; x=\frac{20\pm 4}{6} \\ {x}_1=4; x_2=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $4; 2\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(4x+5\right)}^{\mathbf{2}}=5x^2+4x \\ 16x^2+40x+25=5x^2+4x \\ 16x^2+40x+25-5x^2-4x=0 \\ 11x^2+36x+25=0 \\ D=36^2-4·11·25=1296-1100=196 \\ x=\frac{-36\pm \sqrt{196}}{22}; x=\frac{-36\pm 14}{22} \\ {x}_1=-1; x_2=-\frac{50}{22}=-\frac{25}{11}=-2\frac{3}{11} \end{gathered}$$

Ответ: $-2\frac{3}{11}; -1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} {\left(5x+3\right)}^2=5x+3 \\ {\left(5x+3\right)}^2-\left(5x+3\right)=0 \\ \left(5x+3\right)\left(5x+3-1\right)=0 \\ \left(5x+3\right)\left(5x+2\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}5x+3=0& \text{ или }& 5x+2=0\\ 5x=-3& & 5x=-2\\ x=-\frac{3}{5}& & x=-\frac{2}{5}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{3}{5};-\frac{2}{5}-\backslash frac\{3\}\{5\};\; -\backslash frac\{2\}\{5\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}{\left(5x+3\right)}^{\mathbf{2}}={\left(3x+5\right)}^2 \\ {\left(5x+3\right)}^2-{\left(3x+5\right)}^2=0 \\ \left(5x+3-\left(3x+5\right)\right)\left(5x+3+3x+5\right)=0 \\ \left(5x+3-3x-5\right)\left(8x+8\right)=0 \\ \left(2x-2\right)\left(8x+8\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}2x-2=0& \text{ или }& 8x+8=0\\ 2x=2& & 8x=-8\\ x=1& & x=-1\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $1; -1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}{\left(4x+5\right)}^{\mathbf{2}}=4{\left(x+5\right)}^2 \\ {\left(4x+5\right)}^2-{\left(2\left(x+5\right)\right)}^2=0 \\ \left(4x+5-2\left(x+5\right)\right)\left(4x+5+2\left(x+5\right)\right)=0 \\ \left(4x+5-2x-10\right)\left(4x+5+2x+10\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}2x-5=0& \text{ или }& 6x+15=0\\ 2x=5& & 6x=-15\\ x=2,5& & x=-2,5\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $-2,5; 2,5$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}{\left(2x+10\right)}^{\mathbf{2}}=4{\left(x+5\right)}^2 \\ {\left(2x+10\right)}^2-{\left(2\left(x+5\right)\right)}^2 \\ {\left(2(x+5)\right)}^2-{\left(2\left(x+5\right)\right)}^2 \\ \left(2(x+5)-2\left(x+5\right)\right)\left(2(x+5)+2\left(x+5\right)\right)=0 \\ \left(2x+10-2x-10\right)\left(2x+10+2x+10\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}2x-2x+10-10=0& \text{ или }& 4x+20=0\\ 0x=0& & 4x=-20\\ x - \text{любое число}& & x=-5\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: любое число

а) $(5x + 3)^2 = 5(x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой — распределительный закон.

$(5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2 = 5x + 15$

$25x^2 + 30x + 9 = 5x + 15$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

$25x^2 + 30x - 5x + 9 - 15 = 0$

$25x^2 + 25x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225 = 35^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-25 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0.2$

$x_2 = \frac{-25 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5} = -1.2$

Ответ: $x_1 = 0.2, x_2 = -1.2$.

б) $(3x + 10)^2 = 3(x + 10)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 10 + 10^2 = 3x + 30$

$9x^2 + 60x + 100 = 3x + 30$

Перенесем все члены в левую часть.

$9x^2 + 60x - 3x + 100 - 30 = 0$

$9x^2 + 57x + 70 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант.

$D = 57^2 - 4 \cdot 9 \cdot 70 = 3249 - 2520 = 729 = 27^2$

Найдем корни уравнения.

$x_1 = \frac{-57 + 27}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-57 - 27}{2 \cdot 9} = \frac{-84}{18} = -\frac{14}{3}$

Ответ: $x_1 = -\frac{5}{3}, x_2 = -\frac{14}{3}$.

в) $(3x - 8)^2 = 3x^2 - 8x$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 = 3x^2 - 8x$

$9x^2 - 48x + 64 = 3x^2 - 8x$

Перенесем все члены в левую часть.

$9x^2 - 3x^2 - 48x + 8x + 64 = 0$

$6x^2 - 40x + 64 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения.

$3x^2 - 20x + 32 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант.

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 400 - 384 = 16 = 4^2$

Найдем корни уравнения.

$x_1 = \frac{20 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{20 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{8}{3}$.

г) $(4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x$

Раскроем скобки в левой части.

$(4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 5x^2 + 4x$

$16x^2 + 40x + 25 = 5x^2 + 4x$

Перенесем все члены в левую часть.

$16x^2 - 5x^2 + 40x - 4x + 25 = 0$

$11x^2 + 36x + 25 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант.

$D = 36^2 - 4 \cdot 11 \cdot 25 = 1296 - 1100 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения.

$x_1 = \frac{-36 + 14}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1$

$x_2 = \frac{-36 - 14}{2 \cdot 11} = \frac{-50}{22} = -\frac{25}{11}$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -\frac{25}{11}$.

д) $(5x + 3)^2 = 5x + 3$

Перенесем выражение из правой части в левую.

$(5x + 3)^2 - (5x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x + 3)$ за скобки.

$(5x + 3)((5x + 3) - 1) = 0$

$(5x + 3)(5x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $5x + 3 = 0 \implies 5x = -3 \implies x = -3/5 = -0.6$

2) $5x + 2 = 0 \implies 5x = -2 \implies x = -2/5 = -0.4$

Ответ: $x_1 = -0.6, x_2 = -0.4$.

е) $(5x + 3)^2 = (3x + 5)^2$

Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

1) $5x + 3 = 3x + 5$

$5x - 3x = 5 - 3$

$2x = 2$

$x = 1$

2) $5x + 3 = -(3x + 5)$

$5x + 3 = -3x - 5$

$5x + 3x = -5 - 3$

$8x = -8$

$x = -1$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

ж) $(4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

Заметим, что правую часть можно представить как квадрат выражения: $4(x + 5)^2 = (2(x+5))^2 = (2x+10)^2$.

Уравнение принимает вид $(4x+5)^2 = (2x+10)^2$. Это уравнение вида $A^2 = B^2$.

1) $4x + 5 = 2x + 10$

$4x - 2x = 10 - 5$

$2x = 5$

$x = 5/2 = 2.5$

2) $4x + 5 = -(2x + 10)$

$4x + 5 = -2x - 10$

$4x + 2x = -10 - 5$

$6x = -15$

$x = -15/6 = -5/2 = -2.5$

Ответ: $x_1 = 2.5, x_2 = -2.5$.

з) $(2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2$

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общий множитель 2 за скобки.

$(2(x + 5))^2 = 4(x + 5)^2$

Возведем в квадрат множитель 2.

$2^2(x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

$4(x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x$ — любое число.