Номер 743, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 743, страница 174.

743. Решите уравнение:

а) ${\left(x+2\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2=13$

$x^{2}x^2$+4x+4+$x^{2}x^2$-6x+9=13

$2x^{2}2x^2$-2x+13=13

$2x^{2}2x^2$-2x=0

2x(x-1)=0

х=0 или x-1=0; x=1

Ответ: 0; 1

б) ${\left(3x-5\right)}^2-(2x+1)=24$

$9x^{2}9x^2$-30x+25-($4x^{2}4x^2$+4x+1)=24

$9x^{2}9x^2$-30x+25-$4x^{2}4x^2$-4x-1-24=0

$5x^{2}5x^2$-34x=0

x(5x-34)=0

х=0 или 5x-34=0; 5x=34; x=6,8

Ответ: 0; 6,8

в) $(x-4)\left(x^2+4x+16\right)+28=x^2(x-25)$

$$\begin{gathered} x^3-64+28=x^3-25x^2 \\ -36=-25x^2 \\ {x}^2=\frac{ -36}{-25}; x^2=\frac{ 36}{25} \\ x=\pm \frac{6}{5}; x\pm 1,2 \end{gathered}$$

Ответ: ±1,2

г) $(2x+1)(4x^2-2x+1)-1=1,6x^2(5x-2)$

$$\begin{gathered} 8x^3+1-1=8x^3-3,2x^2 \\ -3,2x^2=0 \\ {x}^2=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

Ответ: 0

а) $(x + 2)^2 + (x - 3)^2 = 13$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 13$

$(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) = 13$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (4 + 9) = 13$

$2x^2 - 2x + 13 = 13$

Перенесем 13 в левую часть уравнения и упростим:

$2x^2 - 2x + 13 - 13 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$2x = 0$ или $x - 1 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 1$.

Ответ: $0; 1$.

б) $(3x - 5)^2 - (2x + 1)^2 = 24$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x - 5$ и $b = 2x + 1$.

$((3x - 5) - (2x + 1))((3x - 5) + (2x + 1)) = 24$

Раскроем внутренние скобки:

$(3x - 5 - 2x - 1)(3x - 5 + 2x + 1) = 24$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(x - 6)(5x - 4) = 24$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$5x^2 - 4x - 30x + 24 = 24$

$5x^2 - 34x + 24 = 24$

Перенесем 24 в левую часть:

$5x^2 - 34x + 24 - 24 = 0$

$5x^2 - 34x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 34) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $5x - 34 = 0$

$x_1 = 0$

$5x = 34 \implies x_2 = \frac{34}{5} = 6,8$

Ответ: $0; 6,8$.

в) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) + 28 = x^2(x - 25)$

Выражение $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$ является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, где $a=x$ и $b=4$.

Применим эту формулу:

$(x^3 - 4^3) + 28 = x^2(x - 25)$

$x^3 - 64 + 28 = x^3 - 25x^2$

Упростим левую часть уравнения:

$x^3 - 36 = x^3 - 25x^2$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числовые значения — в другую. Слагаемые $x^3$ взаимно уничтожаются:

$x^3 - x^3 + 25x^2 = 36$

$25x^2 = 36$

Разделим обе части на 25:

$x^2 = \frac{36}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{36}{25}}$

$x_1 = \frac{6}{5} = 1,2$ и $x_2 = -\frac{6}{5} = -1,2$.

Ответ: $-1,2; 1,2$.

г) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

Выражение $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$ является формулой суммы кубов $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$, где $a=2x$ и $b=1$.

Применим формулу:

$((2x)^3 + 1^3) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

$(8x^3 + 1) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части:

$8x^3 = 1,6x^2 \cdot 5x - 1,6x^2 \cdot 2$

$8x^3 = 8x^3 - 3,2x^2$

Перенесем $8x^3$ из правой части в левую:

$8x^3 - 8x^3 = -3,2x^2$

$0 = -3,2x^2$

Отсюда следует, что $x^2 = 0$.

Уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

Ответ: $0$.