Номер 746, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 746, страница 175.

746. Используя выделение квадрата двучлена:

а) докажите, что наименьшим значением выражения x² – 8x + 27 является число 11;

б) найдите наименьшее значение выражения a² – 4a + 20.

a) $x^2-8x+27=x^2-8x+16+11={\left(x-4\right)}^2+11$

при x=4 наименьшее значение выражения равно 11;

б) $a^2-4a+20=a^2-4a+4+16={\left(a-2\right)}^2+16$

при a=2 наименьшее значение равно 16

а) Чтобы доказать, что наименьшим значением выражения $x^2 - 8x + 27$ является число 11, необходимо преобразовать его, выделив полный квадрат.

Метод выделения полного квадрата основан на формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 - 8x + 27$, член $x^2$ соответствует $a^2$ (значит, $a=x$), а член $-8x$ соответствует $-2ab$. Отсюда $-2xb = -8x$, что дает $b=4$. Следовательно, для полного квадрата нам нужен член $b^2 = 4^2 = 16$.

Представим исходное выражение, добавив и отняв 16, чтобы не изменить его значение:

$x^2 - 8x + 27 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 27$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и вычислим остаток:

$(x-4)^2 + 11$

Полученное выражение состоит из двух частей: слагаемого $(x-4)^2$ и константы 11. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то $(x-4)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x-4)^2$, равно 0. Это происходит, когда $x-4=0$, то есть при $x=4$.

Таким образом, наименьшее значение всего выражения будет равно сумме наименьшего значения $(x-4)^2$ и константы 11:

Наименьшее значение = $0 + 11 = 11$.

Это доказывает, что наименьшим значением выражения является 11.

Ответ: что и требовалось доказать.

б) Чтобы найти наименьшее значение выражения $a^2 - 4a + 20$, применим тот же метод выделения полного квадрата.

В выражении $a^2 - 4a + 20$ имеем $a^2$ и $-4a$. По формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a$, находим, что $-2ay = -4a$, откуда $y=2$. Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 2^2 = 4$.

Преобразуем выражение, добавив и вычтя 4:

$a^2 - 4a + 20 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 20$

Сгруппируем и упростим:

$(a-2)^2 + 16$

Выражение состоит из слагаемого $(a-2)^2$ и константы 16. Слагаемое $(a-2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a-2)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $a=2$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно сумме наименьшего значения $(a-2)^2$ и константы 16:

Наименьшее значение = $0 + 16 = 16$.

Ответ: 16.