Номер 753, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 753, страница 175.

753. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних.

Пусть x, x+1, x+2, x+3, x+4 - пять последовательных целых чисел.

По условию задачи составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x^2+{\left(x+1\right)}^2+{\left(x+2\right)}^2={\left(x+3\right)}^2+{\left(x+4\right)}^2 \\ {x}^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4= \\ =x^2+6x+9+x^2+8x+16 \\ 3x^2+6x+5=2x^2+14x+25 \\ 3x^2-2x^2+6x-14x+5-25=0 \\ {x}^2-8x-20=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·1·\left(-20\right)=64+80=144 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{144}}{2}; x=\frac{8\pm 12}{2} \\ {x}_1=10; x_2=-2 \end{gathered}$$

Если $x=10x\; =\; 10$, то $x+1=11x+1\; =\; 11$; $x+2=12x+2\; =\; 12$; $x+3=13;$ $x+4=14$

Если $x=-2x\; =\; -2$, то $x+1=-1x+1\; =\; -1$; $x+2=0x+2\; =\; 0$; $x+3=1x+3\; =\; 1$; $x+4=2x+4\; =\; 2$

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2 или 10; 11; 12; 13; 14

Обозначим пять последовательных целых чисел через переменную. Чтобы упростить вычисления, удобно выбрать за $n$ среднее из этих чисел. Тогда искомая последовательность имеет вид: $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$, где $n$ — целое число.

По условию задачи, сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов двух последних. Запишем это в виде уравнения: $$ (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 = (n+1)^2 + (n+2)^2 $$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$: $$ (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 = (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) $$

Упростим обе части уравнения, приведя подобные слагаемые: $$ 3n^2 - 6n + 5 = 2n^2 + 6n + 5 $$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные члены: $$ (3n^2 - 2n^2) + (-6n - 6n) + (5 - 5) = 0 $$ $$ n^2 - 12n = 0 $$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $n$ за скобку: $$ n(n - 12) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: $n_1 = 0$ и $n_2 = 12$.

Таким образом, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи. Найдем их, подставив найденные значения $n$ в исходное представление последовательности.

1. При $n = 0$ получаем последовательность:
$0-2, 0-1, 0, 0+1, 0+2$, что дает числа $-2, -1, 0, 1, 2$.
Проверка: Сумма квадратов первых трёх чисел: $(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5$. Сумма квадратов последних двух чисел: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5=5$ выполняется.

2. При $n = 12$ получаем последовательность:
$12-2, 12-1, 12, 12+1, 12+2$, что дает числа $10, 11, 12, 13, 14$.
Проверка: Сумма квадратов первых трёх чисел: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$. Сумма квадратов последних двух чисел: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$. Равенство $365=365$ выполняется.

Ответ: $-2, -1, 0, 1, 2$ или $10, 11, 12, 13, 14$.