Номер 757, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 757, страница 176.

757. Фотографическая карточка размером 12 × 18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280 см².

Пусть х см ширина рамки, тогда фотокарточка вместе с рамкой имеет размеры (2x+12)см и (2x+18)см. Зная, что площадь фотокарточки вместе с рамкой равна $280 {\text{см}}^2,$ составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \left(2x+12\right)\left(2x+18\right)=280 \\ 4x^2+36x+24x+216-280=0 \\ 4x^2+60x-64=0 \mathrm{/}:14 \\ {x}^2+15x-16=0 \\ 2={\left(-15\right)}^2-4·1·\left(-16\right)=225+64=289 \\ x=\frac{-15\pm \sqrt{289}}{2}; x=\frac{-15\pm 17}{2} \end{gathered}$$

$x_1= 1; x_2=-16$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 1см

Пусть ширина рамки равна $x$ см. Исходные размеры фотографической карточки — 12 см на 18 см. После того как карточку наклеили на лист, вокруг нее образовалась рамка одинаковой ширины. Это означает, что к каждой стороне прямоугольной карточки добавилось по $x$ см с двух сторон (слева и справа для ширины, сверху и снизу для длины). Таким образом, новые размеры листа вместе с рамкой составляют:

• Новая ширина: $12 + x + x = 12 + 2x$ см.
• Новая длина: $18 + x + x = 18 + 2x$ см.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. По условию задачи, общая площадь карточки вместе с рамкой составляет 280 см². Мы можем составить уравнение, приравняв произведение новых размеров к этой площади: $(12 + 2x)(18 + 2x) = 280$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:
$12 \cdot 18 + 12 \cdot 2x + 18 \cdot 2x + 2x \cdot 2x = 280$
$216 + 24x + 36x + 4x^2 = 280$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$4x^2 + 60x + 216 = 280$
$4x^2 + 60x + 216 - 280 = 0$
$4x^2 + 60x - 64 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на 4:
$x^2 + 15x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты: $a = 1$, $b = 15$, $c = -16$.
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
$x_1 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-15 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку ширина рамки ($x$) является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Единственным решением является $x = 1$.

Выполним проверку. Если ширина рамки равна 1 см, то новые размеры листа будут:
Ширина: $12 + 2 \cdot 1 = 14$ см.
Длина: $18 + 2 \cdot 1 = 20$ см.
Площадь: $14 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 280 \text{ см}^2$.
Полученная площадь совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 1 см.