Номер 761, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 761, страница 176.

761. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объёмом 6080 см³, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона.

Пусть х см ширина прямоугольника, тогда 1,5x - длина прямоугольника. (х-2*8)см - ширина дна коробки, (1,5x-2*8)см - длина дна коробки.

Зная, что объем коробки равен 6080см³, составим и решим уравнение:

(x-16)(1,5x-16)*8=6080

1,5x²-16x-24x+256=760

1,5x²-40x+256-760=0

1,5x²-40x-504=0

$$\begin{gathered} D={\left(-40\right)}^2-4·1,5·\left(-504\right)=1600+3024=4624 \\ x=\frac{40\pm \sqrt{4624}}{3}; x=\frac{40\pm 68}{3} \end{gathered}$$

$x_1=36; x_2=\frac{-28}{3}=-9\frac{1}{3}$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

36*1,5=54 (см)

Ответ: 36см и 54см

Пусть ширина листа картона равна $x$ см. Согласно условию, длина листа в 1,5 раза больше ширины, следовательно, длина равна $1,5x$ см.

Для изготовления открытой коробки по углам листа вырезают квадраты со стороной 8 см. После того как края картона будут загнуты, сторона вырезанного квадрата станет высотой коробки. Таким образом, высота коробки $h$ равна 8 см.

Основание полученной коробки также будет прямоугольным. Его длина будет равна первоначальной длине листа минус две стороны вырезанного квадрата: $l_{коробки} = 1,5x - 2 \cdot 8 = 1,5x - 16$ см.

Аналогично, ширина основания коробки будет равна первоначальной ширине листа минус две стороны вырезанного квадрата: $w_{коробки} = x - 2 \cdot 8 = x - 16$ см.

Объем прямоугольного параллелепипеда (коробки) вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$. Нам известен объем коробки $V = 6080$ см?. Подставим все значения в формулу:

$V = (1,5x - 16) \cdot (x - 16) \cdot 8$

$6080 = (1,5x - 16)(x - 16) \cdot 8$

Разделим обе части уравнения на 8:

$\frac{6080}{8} = (1,5x - 16)(x - 16)$

$760 = (1,5x - 16)(x - 16)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$760 = 1,5x \cdot x - 1,5x \cdot 16 - 16 \cdot x + 16 \cdot 16$

$760 = 1,5x^2 - 24x - 16x + 256$

$760 = 1,5x^2 - 40x + 256$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$1,5x^2 - 40x + 256 - 760 = 0$

$1,5x^2 - 40x - 504 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:

$3x^2 - 80x - 1008 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1008) = 6400 + 12 \cdot 1008 = 6400 + 12096 = 18496$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18496} = 136$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{80 + 136}{2 \cdot 3} = \frac{216}{6} = 36$

$x_2 = \frac{80 - 136}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -9\frac{1}{3}$

Поскольку $x$ представляет собой ширину листа картона, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2$ не подходит.

Таким образом, ширина листа картона равна 36 см.

Найдем длину листа картона:

$1,5 \cdot 36 = 54$ см.

Проверим: размеры основания коробки будут $36-16=20$ см и $54-16=38$ см. Объем: $20 \cdot 38 \cdot 8 = 760 \cdot 8 = 6080$ см?. Решение верное.

Ответ: длина листа картона — 54 см, ширина — 36 см.