Номер 767, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 767, страница 177.

767. Докажите, что уравнение 12x² + 70x + a² + 1 = 0 при любых значениях а не имеет положительных корней.

$$\begin{gathered} 12x^2+70x+a^2+1=0 \mathrm{/}:12 \\ {x}^2+\frac{70}{12}x+\frac{a^2+1}{12}=0 \\ {x}^2+\frac{35}{6}x+\frac{a^2+1}{12}=0 \end{gathered}$$

$\frac{a^2+1}{12}>0$ при любых значениях а

По теореме Виета

$$\begin{gathered} x_1+x_2=-\frac{35}{6}x\_1\; +\; x\_2\; =\; -\backslash frac\{35\}\{6\} \\ {x}_1·x_2=\frac{a^2+1}{12}x\_1\; \backslash cdot\; x\_2\; =\; \backslash frac\{a^2\; +\; 1\}\{12\} \end{gathered}$$

Так как $\frac{a^2+1}{12}>0\backslash frac\{a^2\; +\; 1\}\{12\}\; >\; 0$, то $x_{1}x\_1$ и $x_{2}x\_2$ - числа одного знака: либо оба положительные, либо оба отрицательные. А так как , следовательно, они оба отрицательные

Для того чтобы доказать, что уравнение $12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0$ не имеет положительных корней при любых значениях $a$, рассмотрим левую часть уравнения как функцию от $x$:

$f(x) = 12x^2 + 70x + a^2 + 1$

Нам нужно показать, что $f(x)$ никогда не равно нулю, если $x$ — положительное число ($x > 0$).

Проанализируем каждое слагаемое в выражении для $f(x)$ при условии, что $x > 0$:

1. Слагаемое $12x^2$. Поскольку $x > 0$, то $x^2$ также будет больше нуля ($x^2 > 0$). Произведение положительного числа 12 на положительное число $x^2$ является положительным: $12x^2 > 0$.

2. Слагаемое $70x$. Поскольку $x > 0$, произведение положительного числа 70 на $x$ также будет положительным: $70x > 0$.

3. Слагаемое $a^2 + 1$. Переменная $a$ может принимать любые действительные значения. Квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет строго больше нуля (а точнее, больше или равен 1): $a^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, для любого положительного $x$ и любого действительного $a$, функция $f(x)$ представляет собой сумму трёх слагаемых:

$f(x) = \underbrace{12x^2}_{>0} + \underbrace{70x}_{>0} + \underbrace{a^2 + 1}_{\ge 1}$

Сумма двух строго положительных чисел и одного числа, которое больше или равно 1, всегда будет строго положительным числом. Более того, мы можем утверждать, что:

$f(x) = 12x^2 + 70x + a^2 + 1 > 0 + 0 + 1 = 1$

Поскольку при любом $x > 0$ и любом $a$ значение $f(x)$ всегда строго больше 1, оно никогда не может равняться нулю. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ не имеет решений для $x > 0$.

Это доказывает, что данное уравнение не имеет положительных корней ни при каких значениях $a$.

Ответ: Утверждение доказано. При $x > 0$ все слагаемые в левой части уравнения ($12x^2$, $70x$, $a^2+1$) положительны, поэтому их сумма не может быть равна нулю.