Номер 773, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 773, страница 177.

773. Разность квадратов корней уравнения 2x² – 5x + c = 0 равна 0,25. Найдите с.

$$\begin{gathered} 2x^2-5x+c=0 \\ {x}_1^2-x_2^2=0,25 \\ {x}^2-\frac{5}{2}x+\frac{c}{2}=0 \\ \left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=0,25 \\ \left(x_1-x_2\right)·\frac{5}{2}=0,25 \\ {x}_1-x_2=0,25:2,5 \\ \left\{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=0,1\\ x_1+x_2=2,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=2,6\\ x_1+x_2=2,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1,3\\ 1,3+x_2=2,5\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1=1,3\\ x_2=2,5-1,3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1,3\\ x_2=1,2\end{array}\right. \\ \frac{c}{2}=x_1·x_2=1,3·1,2=1,56 \\ c=2·1,56=3,12 \end{gathered}$$

Ответ: 3,12

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 5x + c = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Согласно условию задачи, разность квадратов корней равна 0,25. Это можно записать в виде уравнения: $x_1^2 - x_2^2 = 0.25$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{d}{a}$

В нашем случае коэффициенты равны $a = 2$, $b = -5$, а свободный член — $c$. Применим теорему Виета к нашему уравнению:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$

Теперь вернемся к условию $x_1^2 - x_2^2 = 0.25$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0.25$

Мы уже знаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = 2.5$. Подставим это значение в уравнение: $(x_1 - x_2) \cdot 2.5 = 0.25$

Отсюда можем найти разность корней: $x_1 - x_2 = \frac{0.25}{2.5} = 0.1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2.5 \\ x_1 - x_2 = 0.1 \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы найти $x_1$: $(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 2.5 + 0.1$ $2x_1 = 2.6$ $x_1 = 1.3$

Теперь подставим значение $x_1 = 1.3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$: $1.3 + x_2 = 2.5$ $x_2 = 2.5 - 1.3 = 1.2$

Итак, мы нашли корни уравнения: 1.3 и 1.2. Чтобы найти неизвестный коэффициент $c$, воспользуемся формулой для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$

Подставим найденные значения корней: $1.3 \cdot 1.2 = \frac{c}{2}$ $1.56 = \frac{c}{2}$

Из этого уравнения находим $c$: $c = 1.56 \cdot 2 = 3.12$

Убедимся, что при таком значении $c$ уравнение имеет действительные корни, проверив знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3.12) = 25 - 8 \cdot 3.12 = 25 - 24.96 = 0.04$ Поскольку $D = 0.04 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что подтверждает корректность решения.

Ответ: $c = 3.12$.