Номер 774, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 774, страница 177.

774. Один из корней уравнения 4x² + bx + c = 0 равен 0,5, а другой — свободному члену. Найдите b и с.

$$\begin{gathered} 4x^2+bx+c=0 \\ {x}_1=0,5; x_2=c \\ {x}^2+\frac{b}{4}x+\frac{c}{4}=0 \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{4}\\ x_1·x_2=\frac{c}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0,5+c=-\frac{b}{4}\\ 0,5c=\frac{c}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0,5+c=-\frac{b}{4}\\ 2c=c\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2c-c=0\\ 0,5+c=-\frac{b}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 0,5=-\frac{b}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}c=0\\ -b=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: b=-2; c=0

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx + c = 0$. По условию задачи, один из корней уравнения равен $0,5$, а другой корень равен свободному члену $c$. Обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. Пусть $x_1 = 0,5$ и $x_2 = c$.

Для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{a}$

В нашем уравнении $a=4$, $B=b$ и $C=c$. Начнем с формулы для произведения корней, подставив в нее известные значения:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$0,5 \cdot c = \frac{c}{4}$

Решим это уравнение относительно $c$:

$\frac{c}{2} = \frac{c}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2c = c$

$2c - c = 0$

$c = 0$

Итак, мы нашли значение свободного члена: $c=0$. Это также означает, что второй корень уравнения $x_2$ равен 0.

Теперь используем формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $b$. Мы знаем оба корня: $x_1 = 0,5$ и $x_2 = 0$.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$0,5 + 0 = -\frac{b}{4}$

$0,5 = -\frac{b}{4}$

Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на $-4$:

$b = 0,5 \cdot (-4)$

$b = -2$

Мы нашли искомые коэффициенты: $b=-2$ и $c=0$.

Проверка:
Подставим найденные значения $b$ и $c$ в исходное уравнение: $4x^2 - 2x + 0 = 0$, то есть $4x^2 - 2x = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $2x(2x-1)=0$.
Корни: $x=0$ и $2x-1=0 \implies x=0,5$.
Полученные корни $0$ и $0,5$ соответствуют условию задачи: один корень равен $0,5$, а другой корень ($0$) равен свободному члену ($c=0$).

Ответ: $b = -2, c = 0$.