Номер 771, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 771, страница 177.

771. Частное корней уравнения 4x² + bx – 27 = 0 равно –3. Найдите b.

$$\begin{gathered} 4x^2+bx-27=0 \\ \frac{x_1}{x_2}=-3; x_1=-3x_2 \\ {x}^2+\frac{b}{4}x-\frac{27}{4}=0 \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{4}\\ x_1=-3x_2\end{array}\right. \\ -3x_2+x_2=-\frac{b}{4} \\ -2x_2=-\frac{b}{4} \\ {x}_2=\frac{b}{8}; x_1=-\frac{3b}{8} \\ {x}_1·x_2=-\frac{27}{4} \\ \frac{b}{8}·\left(-\frac{3b}{8}\right)=-\frac{27}{4} \\ -\frac{3b^2}{64}=-\frac{27}{4}; \\ {b}^2=\frac{64·27}{12}=\frac{64·9}{4}=16·9=144 \\ b=\pm 12 \end{gathered}$$

Ответ: ±12

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx - 27 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Из условия задачи известно, что частное корней равно -3. Запишем это как соотношение:

$\frac{x_1}{x_2} = -3$, откуда $x_1 = -3x_2$.

Для нахождения коэффициента $b$ воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + Bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$ (сумма корней)
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (произведение корней)

Для нашего уравнения коэффициенты $a=4$, $B=b$, $c=-27$. Подставим эти значения в формулы Виета:

1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$
2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{-27}{4}$

Теперь составим систему уравнений, используя соотношение между корнями и теорему Виета. Подставим выражение $x_1 = -3x_2$ в уравнение для произведения корней:

$(-3x_2) \cdot x_2 = -\frac{27}{4}$

$-3x_2^2 = -\frac{27}{4}$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x_2^2 = \frac{27}{4 \cdot 3} = \frac{9}{4}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x_2$:

$x_2 = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} \Rightarrow x_2 = \pm\frac{3}{2}$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. Пусть $x_2 = \frac{3}{2}$.

Тогда первый корень $x_1 = -3 \cdot x_2 = -3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{2}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -\frac{9}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} = -3$.

Подставим сумму корней в первую формулу Виета:

$-3 = -\frac{b}{4}$

Отсюда $b = 12$.

Случай 2. Пусть $x_2 = -\frac{3}{2}$.

Тогда первый корень $x_1 = -3 \cdot x_2 = -3 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{9}{2} + (-\frac{3}{2}) = \frac{6}{2} = 3$.

Подставим сумму корней в первую формулу Виета:

$3 = -\frac{b}{4}$

Отсюда $b = -12$.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $b = 12$ или $b = -12$.