Номер 775, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 775, страница 177.

775. Известно, что коэффициенты b и с уравнения x² + bx + c = 0. где c ≠ 0, являются его корнями. Найдите b и с.

$$\begin{gathered} x^2+bx+c=0, c\ne 0 \\ {x}_1=b, x_2=c \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-b\\ x_1·x_2=c\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b+c=-b\\ bc=c\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2b=-c\\ bc-c=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2b=-c\\ c\left(b-1\right)=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2b=-c\\ b-1=0, c\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 2=-c\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=-2\end{array}\right.$

Ответ: b=1; c=-2

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + c = 0$. Согласно условию задачи, его корни, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, равны его коэффициентам $b$ и $c$. То есть, $x_1 = b$ и $x_2 = c$. Также известно, что $c \neq 0$.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями ($x_1, x_2$) и коэффициентами ($p, q$):
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае, для уравнения $x^2 + bx + c = 0$, коэффициенты $p=b$ и $q=c$. Применяя теорему Виета, получаем:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = c$

Теперь подставим в эти формулы значения корней, которые нам известны из условия задачи: $x_1 = b$ и $x_2 = c$. Это дает нам систему из двух уравнений:
$b + c = -b$ (1)
$b \cdot c = c$ (2)

Начнем с решения второго уравнения системы:
$bc = c$
$bc - c = 0$
Вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$c(b - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что либо $c = 0$, либо $b - 1 = 0$.
По условию задачи нам дано, что $c \neq 0$. Следовательно, мы должны выбрать второй вариант:
$b - 1 = 0$
$b = 1$

Мы нашли значение коэффициента $b$. Теперь подставим это значение в первое уравнение системы (1), чтобы найти $c$:
$b + c = -b$
$1 + c = -1$
$c = -1 - 1$
$c = -2$

Таким образом, мы определили значения коэффициентов: $b=1$ и $c=-2$.

Выполним проверку. Если $b=1$ и $c=-2$, то исходное уравнение принимает вид:
$x^2 + x - 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или разложить на множители:
$(x + 2)(x - 1) = 0$
Отсюда корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Мы видим, что найденные корни ($1$ и $-2$) действительно равны коэффициентам $b$ и $c$. Условие $c \neq 0$ также выполняется.

Ответ: $b = 1$, $c = -2$.