Номер 777, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 777, страница 177.

777. Известно, что сумма квадратов корней уравнения x² – 15x + q = 0 равна 153. Найдите q.

$$\begin{gathered} x^2-15x+q=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=153 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=153 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=153 \\ 15^2-2x_1{x}_2=153 \\ 2x_1{x}_2=225-153 \\ 2x_1{x}_2=72 \\ {x}_1{x}_2=36 \\ q=36 \end{gathered}$$

Ответ: 36

Дано квадратное уравнение $x^2 - 15x + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Применительно к нашему уравнению $x^2 - 15x + q = 0$, где $p = -15$, получаем:
$x_1 + x_2 = -(-15) = 15$
$x_1 \cdot x_2 = q$

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 153:
$x_1^2 + x_2^2 = 153$

Чтобы связать это условие с теоремой Виета, выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Возведем сумму корней в квадрат:
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
Из этого тождества можно выразить сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим известные нам значения в полученную формулу:
$x_1 + x_2 = 15$
$x_1 \cdot x_2 = q$
$x_1^2 + x_2^2 = 153$
Получаем уравнение:
$153 = (15)^2 - 2 \cdot q$

Решим это уравнение относительно $q$:
$153 = 225 - 2q$
$2q = 225 - 153$
$2q = 72$
$q = \frac{72}{2}$
$q = 36$

Для полноты решения убедимся, что при $q=36$ уравнение имеет действительные корни. Для этого проверим знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$
Поскольку $D = 81 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, условие задачи выполнимо.

Ответ: 36.