Номер 770, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 770, страница 177.

770. Один из корней уравнения 5x² – 12x + c = 0 в 3 раза больше другого. Найдите с.

$5x^2-12x+c=05x^2-12x+c=0$

Пусть $x_1$ - первый корень уравнения, тогда $x_2=3x_1$

$$\begin{gathered} x^2-\frac{12}{5}x+\frac{c}{5}=0 \\ \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{12}{5}\\ x_1·x_2=\frac{c}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}{x}_1+3x_1=\frac{12}{5}\\ x_1·x_2=\frac{c}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x_1=\frac{12}{5}\\ x_1·x_2=\frac{c}{5}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{12}{20}\\ \frac{12}{20}·x_2=\frac{c}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{5}; x_2=3·\frac{3}{5}=\frac{9}{5}\\ \frac{3}{5}·\frac{9}{5}=\frac{c}{5}\end{array}\right. \\ \frac{27}{25}=\frac{c}{5}; c=\frac{27·5}{25}=\frac{27}{5}=5\frac{2}{5}=5,4 \end{gathered}$$

Ответ: 5,4

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $5x^2 - 12x + c = 0$.

Согласно условию задачи, один корень в 3 раза больше другого. Запишем это соотношение в виде $x_2 = 3x_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + d = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между его корнями ($x_1$, $x_2$) и коэффициентами ($a$, $b$, $d$):

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{d}{a}$

В нашем уравнении $5x^2 - 12x + c = 0$ коэффициенты имеют следующие значения: $a=5$, $b=-12$, а свободный член равен $c$.

Применим теорему Виета к данному уравнению:

1. Сумма корней:
$x_1 + x_2 = - \frac{-12}{5} = \frac{12}{5}$

2. Произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{5}$

Теперь мы можем составить систему из двух уравнений для нахождения корней:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{12}{5} \\ x_2 = 3x_1 \end{cases}$

Подставим второе уравнение ($x_2 = 3x_1$) в первое:
$x_1 + 3x_1 = \frac{12}{5}$
$4x_1 = \frac{12}{5}$

Отсюда находим значение первого корня:
$x_1 = \frac{12}{5 \cdot 4} = \frac{3}{5}$

Теперь находим второй корень:
$x_2 = 3x_1 = 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$

Мы нашли оба корня уравнения. Чтобы найти неизвестный коэффициент $c$, подставим значения корней в формулу для их произведения:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{5}$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{9}{5} = \frac{c}{5}$
$\frac{27}{25} = \frac{c}{5}$

Выразим $c$ из этого равенства:
$c = \frac{27 \cdot 5}{25} = \frac{27}{5} = 5,4$

Ответ: $c = 5,4$.