Номер 769, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 769, страница 177.

769. Разность корней уравнения 3x² + bx + 10 = 0 равна 413. Найдите b.

$3x^2+bx+10=0$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=4\frac{1}{3}\\ x_1+x_2=-\frac{b}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2x_1=\frac{13}{3}-\frac{b}{3}\\ x_1+x_2=-\frac{b}{3}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}2x_1=\frac{13-b}{3}\\ x_1+x_2=-\frac{b}{3}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ \frac{13-b}{6}+x_2=-\frac{b}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=-\frac{b}{3}-\frac{13-b}{6}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=\frac{-2b-\left(13-b\right)}{6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=\frac{-2b-13+b}{6}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=\frac{-b-13}{6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13-b}{6}\\ x_2=\frac{-13-b}{6}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} x_1·x_2=\frac{10}{3} \\ \frac{13-b}{6}·\left(-\frac{13+b}{6}\right)=\frac{10}{3} \\ -\frac{169-b^2}{36}=\frac{10}{3} \\ \left(b^2-169\right)·3=360 \\ {b}^2-169=120 \\ {b}^2=289 \\ b=\pm 17 \end{gathered}$$

Ответ: $b=\pm 17b\; =\; \backslash pm\; 17$

Дано квадратное уравнение $3x^2 + bx + 10 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, разность корней равна $4\frac{1}{3}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$|x_1 - x_2| = 4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения $ax^2+Bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $3x^2 + bx + 10 = 0$ коэффициенты равны: $a=3$, $B=b$, $c=10$. Тогда по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{3}$.

Свяжем сумму, произведение и разность корней с помощью следующего алгебраического тождества:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения. Так как $|x_1 - x_2| = \frac{13}{3}$, то $(x_1 - x_2)^2 = \left(\frac{13}{3}\right)^2 = \frac{169}{9}$.

Получаем уравнение:

$\frac{169}{9} = \left(-\frac{b}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{10}{3}\right)$.

Упростим правую часть:

$\frac{169}{9} = \frac{b^2}{9} - \frac{40}{3}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 9:

$9 \cdot \frac{169}{9} = 9 \cdot \frac{b^2}{9} - 9 \cdot \frac{40}{3}$.

$169 = b^2 - 3 \cdot 40$.

$169 = b^2 - 120$.

Теперь найдем $b^2$:

$b^2 = 169 + 120$.

$b^2 = 289$.

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $b$:

$b = \pm\sqrt{289}$.

$b = \pm 17$.

Проверим, что при этих значениях $b$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным.

$D = (\pm 17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$.

Поскольку $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при $b=17$ и при $b=-17$.

Ответ: $b = 17$ или $b = -17$.