Номер 772, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 772, страница 177.

772. Квадрат разности корней уравнения x² + px + 90 = 0 равен 81. Найдите p.

$$\begin{gathered} x^2+px+90=0 \\ {\left(x_1-x_2\right)}^2=81 \end{gathered}$$

I $\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0.36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x_1-x_2=9\\ x_1{x}_2=90\end{array}\right.$ или II $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=-9\\ x_1·x_2=90\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1=9+x_2\\ \left(9+x_2\right)x_2=90\end{array}\right. \\ {x}_2^2+9x_2-90=0 \\ D=9^2-4·1·\left(-90\right)=81+360=441 \\ {x}_2=\frac{-9\pm \sqrt{441}}{2}; x_2=\frac{-9\pm 21}{2} \\ {x}_2=6\text{ или }{x}_2=-15 \end{gathered}$$

Если $x_2=6x\_\{2\}=6$, то $x_1=9+6=15x\_\{1\}=9+6=15$,

если $x_2=-15x\_\{2\}=-15$, то $x_1=9+\left(-15\right)=-6$

$$\begin{gathered} -p=x_1+x_2=6+15=21; p=-21 \\ -p=x_1+x_2=-6+\left(-15\right)=-21; p=21 \end{gathered}$$

II

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=-9\\ x_1·x_2=90\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-9+x_2\\ \left(-9+x_2\right)x_2=90\end{array}\right. \\ {x}_2^2-9x_2-90=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·1·\left(-90\right)=81+360=441 \\ {x}_2=\frac{9\pm \sqrt{441}}{2}; x_2=\frac{9\pm 21}{2} \\ {x}_2=15\text{ или }{x}_2=-6 \end{gathered}$$

Если $x_2=15x\_\{2\}=15$, то $x_1=-9+15=6x\_\{1\}=-9+15=6$,

если $x_2=-6x\_\{2\}=-6$, то $x_1=-9+\left(-6\right)=-15$

$$\begin{gathered} -p=x_1+x_2=15+6=21, p=-21, \\ -p=x_1+x_2=-6+\left(-15\right)=-21; p=21 \end{gathered}$$

Ответ: $\pm 21\backslash pm\; 21$

Дано квадратное уравнение $x^2 + px + 90 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, квадрат разности корней равен 81, то есть $(x_1 - x_2)^2 = 81$.

Для нахождения $p$ можно воспользоваться теоремой Виета или формулой, связывающей разность корней с дискриминантом.

Способ 1: Использование теоремы Виета

По теореме Виета для данного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 90$.

Выразим квадрат разности корней через их сумму и произведение, используя тождество:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Теперь подставим известные нам по условию и из теоремы Виета значения:

$81 = (-p)^2 - 4 \cdot 90$

$81 = p^2 - 360$

Перенесем 360 в левую часть:

$p^2 = 81 + 360$

$p^2 = 441$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим возможные значения $p$:

$p = \pm\sqrt{441}$

$p = \pm 21$

Способ 2: Использование дискриминанта

Квадрат разности корней $x_1$ и $x_2$ для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ связан с дискриминантом $D = b^2 - 4ac$ по формуле: $(x_1 - x_2)^2 = \frac{D}{a^2}$.

В нашем уравнении $x^2 + px + 90 = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=p$, $c=90$.

Дискриминант $D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = p^2 - 360$.

Подставим известные значения в формулу для квадрата разности:

$81 = \frac{p^2 - 360}{1^2}$

$81 = p^2 - 360$

$p^2 = 81 + 360$

$p^2 = 441$

$p = \pm 21$

Оба способа приводят к одинаковому результату. При найденных значениях $p$ дискриминант $D = 81 > 0$, что подтверждает наличие двух различных действительных корней у исходного уравнения.

Ответ: $p = 21$ или $p = -21$.