Номер 779, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 779, страница 177.

779. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения 3x² + 2x + k = 0, причём 2x₁ = –3x₂. Найдите k.

$$\begin{gathered} 3x^2+2x+k=0,2x_1=-3x_2 \\ {x}^2+\frac{2}{3}x+\frac{k}{3}=0;x_1=-\frac{3}{2}{x}_2 \\ {x}_1+x_2=-\frac{2}{3} \\ -\frac{3}{2}{x}_2+x_2=-\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{2}{x}_2=-\frac{2}{3} \\ {x}_2=-\frac{2}{3}:\left(-\frac{1}{2}\right) \\ {x}_2=\frac{4}{3}{x}_1=-\frac{3}{2}·\frac{4}{3}=-2 \\ \frac{k}{3}=x_1{x}_2=\frac{4}{3}\left(-2\right)=-\frac{8}{3} \\ k=-\frac{24}{3}=-8 \end{gathered}$$

Ответ: -8

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В заданном уравнении $3x^2 + 2x + k = 0$ коэффициенты равны: $a=3$, $b=2$, $c=k$.
Применив теорему Виета, получим систему уравнений:
1) $x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}$
2) $x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{3}$

К этой системе добавим третье уравнение, данное в условии задачи:
3) $2x_1 = -3x_2$

Теперь решим полученную систему. Из третьего уравнения выразим $x_1$:
$x_1 = -\frac{3}{2}x_2$

Подставим это выражение для $x_1$ в первое уравнение системы:
$(-\frac{3}{2}x_2) + x_2 = -\frac{2}{3}$
$-\frac{1}{2}x_2 = -\frac{2}{3}$
Теперь найдем $x_2$, умножив обе части уравнения на -2:
$x_2 = (-\frac{2}{3}) \cdot (-2) = \frac{4}{3}$

Зная $x_2$, найдем $x_1$:
$x_1 = -\frac{3}{2} \cdot x_2 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = -2$

Теперь, когда мы нашли значения обоих корней, мы можем найти параметр $k$ из второго уравнения системы ($x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{3}$):
$(-2) \cdot \frac{4}{3} = \frac{k}{3}$
$-\frac{8}{3} = \frac{k}{3}$
Из этого равенства следует, что $k = -8$.

Ответ: $k = -8$.