Номер 766, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 766, страница 177.

766. Докажите, что уравнение 7x² + bx – 23 = 0 при любых значениях b имеет один положительный и один отрицательный корень.

$$\begin{gathered} 7x^2+bx-23=0 \mathrm{/}:7 \\ {x}^2+\frac{b}{7}x-\frac{23}{7}=0 \\ D={\left(\frac{b}{7}\right)}^2-4·1·\left(-\frac{23}{7}\right)=\frac{b^2}{49}+\frac{92}{7}>0 \end{gathered}$$

При любых значениях b. Значит, уравнение имеет два корня. По теореме Виета: $x_1·x_2=-\frac{23}{7}x\_1\; \backslash cdot\; x\_2\; =\; -\backslash frac\{23\}\{7\}$

Значит, один корень положительный, другой - отрицательный.

Для доказательства того, что уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$ при любых значениях $b$ имеет один положительный и один отрицательный корень, необходимо установить два факта: во-первых, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня, и, во-вторых, что эти корни имеют разные знаки.

Это можно сделать, проанализировав его дискриминант и применив теорему Виета.

1. Анализ дискриминанта

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ строго положителен ($D > 0$).

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 7$, $b$ — параметр, $c = -23$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-23) = b^2 + 28 \cdot 23 = b^2 + 644$.

Квадрат любого действительного числа $b$ всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$.

Следовательно, дискриминант $D = b^2 + 644 \ge 0 + 644 = 644$.

Так как $D$ всегда не меньше 644, он строго положителен ($D > 0$) при любом значении $b$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

2. Применение теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами квадратного уравнения. В частности, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Для нашего уравнения произведение корней составляет:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-23}{7}$.

Поскольку произведение корней является отрицательным числом ($x_1 \cdot x_2 < 0$), это означает, что корни должны иметь разные знаки. То есть один корень должен быть положительным, а другой — отрицательным.

Таким образом, мы доказали, что при любом значении $b$ уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$ имеет два различных действительных корня, один из которых положителен, а другой — отрицателен.

Ответ: Утверждение доказано.