Номер 763, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 763, страница 176.

763. Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.

Пусть $2n-12n-1$ и $2n+12n+1$ - два последовательных нечётных натуральных числа.

По условию задачи составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} {\left(2n+1\right)}^3-{\left(2n-1\right)}^3=866 \\ 8n^3+3{\left(2n\right)}^2·1+3·2n·1^2+1- \\ -\left({\left(2n\right)}^3-3·{\left(2n\right)}^2·1+3·2n·1^2-1\right)=866 \\ 8n^3+12n^2+6n+1-8n^3+12n^2-6n+1=866 \\ 24n^2+2-866=0 \\ 24n^2-864=0 \\ 24n^2=864 \\ {n}^2=36 \\ {n}_1=6; n_2=-6\notin N \\ 2n-1=2·6-1=11 \\ 2n+1=2·6+1=13 \end{gathered}$$

Ответ: 11 и 13

Пусть меньшее из двух последовательных нечётных натуральных чисел равно $n$. Поскольку числа нечётные и последовательные, разница между ними равна 2. Следовательно, большее число равно $n+2$.

По условию задачи, разность их кубов равна 866. Составим уравнение, вычитая куб меньшего числа из куба большего:

$(n+2)^3 - n^3 = 866$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 2 + 3 \cdot n \cdot 2^2 + 2^3) - n^3 = 866$

Упростим выражение:

$n^3 + 6n^2 + 12n + 8 - n^3 = 866$

$6n^2 + 12n + 8 = 866$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6n^2 + 12n + 8 - 866 = 0$

$6n^2 + 12n - 858 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на их общий делитель 6:

$n^2 + 2n - 143 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-143) = 4 + 572 = 576$

Найдём корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

$n_1 = \frac{-2 + 24}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-2 - 24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

В условии сказано, что числа являются натуральными, то есть положительными целыми. Корень $n_2 = -13$ не является натуральным числом, поэтому он не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, меньшее из искомых чисел равно $n = 11$.

Тогда большее число равно $n+2 = 11+2 = 13$.

Выполним проверку:

$13^3 - 11^3 = 2197 - 1331 = 866$.

Разность действительно равна 866, значит, числа найдены верно.

Ответ: 11 и 13.