Номер 756, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 756, страница 176.

756. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть $xx$ см - одна сторона прямоугольника, тогда $\frac{28-2x}{2}=(14-x) \text{см}$ - вторая сторона прямоугольника. По условию задачи составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x^2+{\left(14-x\right)}^2=116 \\ {x}^2+196-28x+x^2-116=0 \\ 2x^2-28x+80=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2-14x+40=0 \\ D={\left(-14\right)}^2-4·1·40=196-160=36 \\ x=\frac{14\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{14\pm 6}{2} \\ {x}_1=10; x_2=4 \end{gathered}$$

Если $x=10x=10$см, то $14-x=14-10=414-x=14-10=4$ (см),

если $x=4x\; =\; 4$см, то $14-x=14-4=1014-x=14-4=10$ (см)

Ответ: 4 см и 10 см

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, периметр прямоугольника равен 28 см. Периметр вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Составим первое уравнение:

$2(a+b) = 28$

Разделив обе части на 2, получим сумму смежных сторон:

$a+b = 14$

Также по условию, сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см?. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$, а площадь квадрата со стороной $b$ равна $b^2$. Составим второе уравнение:

$a^2 + b^2 = 116$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} a+b = 14 \\ a^2 + b^2 = 116 \end{cases} $$

Для решения системы выразим $b$ из первого уравнения:

$b = 14 - a$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (14-a)^2 = 116$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 + (14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2) = 116$

$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 116$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2a^2 - 28a + 196 - 116 = 0$

$2a^2 - 28a + 80 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$a^2 - 14a + 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужно найти два числа, сумма которых равна 14, а произведение равно 40. Этими числами являются 4 и 10.

Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 4$ и $a_2 = 10$.

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $b$, используя выражение $b = 14 - a$:

Если $a_1 = 4$, то $b_1 = 14 - 4 = 10$.

Если $a_2 = 10$, то $b_2 = 14 - 10 = 4$.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 4 см и 10 см.

Проверим найденные значения:

Периметр: $2(4+10) = 2 \cdot 14 = 28$ см. (Верно)

Сумма площадей квадратов: $4^2 + 10^2 = 16 + 100 = 116$ см?. (Верно)

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 10 см.