Номер 754, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 754, страница 176.

754. Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

Пусть 2x; 2x+2; 2x+4 - три последовательных чётных числа. По условию задани составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {\left(2x\right)}^2+{\left(2x+2\right)}^2={\left(2x+4\right)}^2 \\ 4x^2+4x^2+8x+4=4x^2+16x+16 \\ 8x^2+8x+4-4x^2-16x-16=0 \\ 4x^2-8x-12=0\mathrm{/}:4 \\ {x}^2-2x-3=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)=4+12=16 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{2\pm 4}{2} \\ {x}_1=3; x_2=-1 \end{gathered}$$

Если $x=3x\; =\; 3$, то $2x=62x\; =\; 6$; $2x+2=82x+2\; =\; 8$; $2x+4=102x+4\; =\; 10$.

Если $x=-1x\; =\; -1$, то $2x=-22x\; =\; -2$; $2x+2=02x+2\; =\; 0$; $2x+4=22x+4\; =\; 2$

Ответ: -2; 0; 2 или 6; 8; 10

Пусть первое из трёх последовательных чётных чисел равно $2n$, где $n$ — некоторое целое число. Поскольку числа являются последовательными чётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Таким образом, второе число будет равно $2n + 2$, а третье — $2n + 4$.

По условию задачи сказано, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа. На основании этого мы можем составить уравнение:

$(2n)^2 + (2n + 2)^2 = (2n + 4)^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$4n^2 + ( (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 2 + 2^2 ) = ( (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 4 + 4^2 )$

$4n^2 + (4n^2 + 8n + 4) = (4n^2 + 16n + 16)$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$8n^2 + 8n + 4 = 4n^2 + 16n + 16$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$(8n^2 - 4n^2) + (8n - 16n) + (4 - 16) = 0$

$4n^2 - 8n - 12 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 4:

$n^2 - 2n - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли два возможных значения для $n$. Теперь найдём соответствующие им тройки последовательных чётных чисел.

Случай 1: $n = 3$
Первое число: $2n = 2 \cdot 3 = 6$
Второе число: $2n + 2 = 2 \cdot 3 + 2 = 8$
Третье число: $2n + 4 = 2 \cdot 3 + 4 = 10$
Получили тройку чисел: 6, 8, 10.
Проверим выполнение условия: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Условие выполняется.

Случай 2: $n = -1$
Первое число: $2n = 2 \cdot (-1) = -2$
Второе число: $2n + 2 = 2 \cdot (-1) + 2 = 0$
Третье число: $2n + 4 = 2 \cdot (-1) + 4 = 2$
Получили тройку чисел: -2, 0, 2.
Проверим выполнение условия: $(-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$, и $2^2 = 4$. Условие выполняется.

Таким образом, существуют две тройки чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 6, 8, 10 или -2, 0, 2.