Номер 751, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 751, страница 175.

751. Выясните, при каких значениях переменной:

а) трёхчлен a² + 7a + 6 и двучлен a + 1 принимают равные значения;

б) трёхчлены 3x² – x + 1 и 2x² + 5x – 4 принимают равные значения.

Найдите эти значения.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{a}^2+7a+6=a+1 \\ {a}^2+7a-a+6-1=0 \\ {a}^2+6a+5=0 \\ D=6^2-4·1·5=36-20=16 \\ a=\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}; a=\frac{-6\pm 4}{2} \\ {a}_1=-1; a_2=-5 \end{gathered}$$

Ответ: при $a=-1; a=-5$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3x^2-x+1=2x^2+5x-4 \\ 3x^2-x+1-2x^2-5x+4=0 \\ {x}^2-6x+5=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·5=36-20=16 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{6\pm 4}{2} \\ {x}_1=5; x_2=1 \end{gathered}$$

Ответ: а) при $a=-1; a=-5;$

б) при $a=1; a=5$

а)

Чтобы найти значения переменной $a$, при которых трёхчлен $a^2 + 7a + 6$ и двучлен $a + 1$ принимают равные значения, необходимо приравнять эти выражения. Составим и решим уравнение:

$a^2 + 7a + 6 = a + 1$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$a^2 + 7a - a + 6 - 1 = 0$

$a^2 + 6a + 5 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = -6$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 5$. Отсюда находим корни: $a_1 = -5$ и $a_2 = -1$.

Таким образом, выражения принимают равные значения при $a = -5$ и $a = -1$.

Теперь найдём эти равные значения, подставив найденные корни в одно из исходных выражений. Удобнее использовать двучлен $a + 1$.

Если $a = -5$, то значение выражения равно $-5 + 1 = -4$.

Если $a = -1$, то значение выражения равно $-1 + 1 = 0$.

Ответ: при $a = -5$ значение выражений равно -4; при $a = -1$ значение выражений равно 0.

б)

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых трёхчлены $3x^2 - x + 1$ и $2x^2 + 5x - 4$ принимают равные значения, приравняем их:

$3x^2 - x + 1 = 2x^2 + 5x - 4$

Перенесём все члены уравнения в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$3x^2 - 2x^2 - x - 5x + 1 + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 5$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, выражения равны при $x = 1$ и $x = 5$.

Теперь найдём эти равные значения. Подставим найденные значения $x$ в одно из исходных выражений, например, в $3x^2 - x + 1$.

Если $x = 1$, то значение выражения равно $3(1)^2 - 1 + 1 = 3 - 1 + 1 = 3$.

Если $x = 5$, то значение выражения равно $3(5)^2 - 5 + 1 = 3 \cdot 25 - 5 + 1 = 75 - 4 = 71$.

Ответ: при $x = 1$ значение выражений равно 3; при $x = 5$ значение выражений равно 71.