Номер 745, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 745, страница 175.

745. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:

a) $a^2+4a+11=a^2+4a+4+7={\left(a+2\right)}^2+7>0$

б) $\frac{x^2-2x+7}{19}=\frac{x^2-2x+1+6}{19}=\frac{{\left(x-1\right)}^2+6}{19}>0$

в) $m^2-4m+51=m^2-4m+4+47={\left(m-2\right)}^2+47>0$

г) $\frac{p^2-6p+18}{p^2+1}=\frac{p^2-6p+9+9}{p^2+1}=\frac{{\left(p-3\right)}^2+9}{p^2+1}>0$

д) $2b^2-8b+20=2\left(b^2-4b+10\right)=$
$$\begin{gathered} =2\left(b^2-4b+4+6\right)=2\left({\left(b-2\right)}^2+6\right)= \\ =2{\left(b-2\right)}^2+12>0 \end{gathered}$$

е) $\frac{2c^2+3}{c^2+12c+40}=\frac{2c^2+3}{{\left(c+6\right)}^2+4}>0$

а) Чтобы доказать, что выражение $a^2 + 4a + 11$ положительно при любом значении $a$, выделим в нем полный квадрат. Формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Представим выражение в виде: $a^2 + 4a + 11 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 11 = (a^2 + 4a + 4) + 7$.

Свернув полный квадрат, получим: $(a+2)^2 + 7$.

Выражение $(a+2)^2$ является квадратом действительного числа и поэтому всегда неотрицательно, то есть $(a+2)^2 \ge 0$ при любом $a$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(a+2)^2 + 7$ достигается при $(a+2)^2 = 0$ и равно $0 + 7 = 7$.

Поскольку $7 > 0$, то и все выражение $a^2 + 4a + 11$ всегда положительно, что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его можно представить в виде суммы неотрицательного числа $(a+2)^2$ и положительного числа $7$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 2x + 7}{19}$. Знаменатель дроби, $19$, является положительным числом. Чтобы доказать, что вся дробь положительна, достаточно доказать, что ее числитель $x^2 - 2x + 7$ всегда положителен.

Выделим полный квадрат в числителе: $x^2 - 2x + 7 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 7 = (x^2 - 2x + 1) + 6$.

Свернув полный квадрат, получим: $(x-1)^2 + 6$.

Выражение $(x-1)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Значит, наименьшее значение числителя равно $0 + 6 = 6$, что является положительным числом.

Так как числитель всегда положителен и знаменатель положителен, то и вся дробь всегда положительна.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его числитель $(x-1)^2+6$ всегда положителен, а знаменатель $19$ также положителен.

в) Докажем, что выражение $m^2 - 4m + 51$ положительно при любом $m$. Выделим полный квадрат.

$m^2 - 4m + 51 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 51 = (m^2 - 4m + 4) + 47$.

Свернув полный квадрат, получим: $(m-2)^2 + 47$.

Так как $(m-2)^2 \ge 0$ для любого $m$, то наименьшее значение всего выражения равно $0 + 47 = 47$.

Поскольку $47 > 0$, выражение $m^2 - 4m + 51$ всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как оно равно сумме неотрицательного числа $(m-2)^2$ и положительного числа $47$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1}$.

Сначала проанализируем знаменатель $p^2 + 1$. Так как $p^2 \ge 0$ для любого $p$, то $p^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, знаменатель всегда положителен.

Теперь проанализируем числитель $p^2 - 6p + 18$. Выделим в нем полный квадрат:

$p^2 - 6p + 18 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 18 = (p^2 - 6p + 9) + 9$.

Свернув полный квадрат, получим: $(p-3)^2 + 9$.

Выражение $(p-3)^2 \ge 0$ для любого $p$, поэтому наименьшее значение числителя равно $0 + 9 = 9$. Числитель всегда положителен.

Так как и числитель, и знаменатель дроби всегда положительны, то и все выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его числитель $(p-3)^2+9$ и знаменатель $p^2+1$ всегда положительны.

д) Докажем, что выражение $2b^2 - 8b + 20$ положительно. Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2(b^2 - 4b + 10)$.

Теперь докажем, что выражение в скобках $b^2 - 4b + 10$ всегда положительно. Выделим полный квадрат:

$b^2 - 4b + 10 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 10 = (b^2 - 4b + 4) + 6$.

Свернув полный квадрат, получим: $(b-2)^2 + 6$.

Так как $(b-2)^2 \ge 0$ для любого $b$, то наименьшее значение выражения в скобках равно $0 + 6 = 6$.

Таким образом, исходное выражение равно $2((b-2)^2 + 6)$. Поскольку выражение в скобках всегда положительно (не меньше 6), а множитель 2 также положителен, их произведение всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его можно представить в виде $2((b-2)^2 + 6)$, где оба множителя положительны.

е) Рассмотрим выражение $\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40}$.

Проанализируем числитель $2c^2 + 3$. Так как $c^2 \ge 0$ для любого $c$, то $2c^2 \ge 0$, а значит $2c^2 + 3 \ge 3$. Числитель всегда положителен.

Проанализируем знаменатель $c^2 + 12c + 40$. Выделим в нем полный квадрат:

$c^2 + 12c + 40 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2 - 6^2 + 40 = (c^2 + 12c + 36) + 4$.

Свернув полный квадрат, получим: $(c+6)^2 + 4$.

Так как $(c+6)^2 \ge 0$ для любого $c$, то наименьшее значение знаменателя равно $0 + 4 = 4$. Знаменатель всегда положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби всегда положительны, все выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда положительно, так как его числитель $2c^2+3$ и знаменатель $(c+6)^2+4$ всегда положительны.