Номер 741, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 741, страница 174.

741. Решите уравнение с параметром k:

x² – (4k + 1)x + 2(2k² + k – 3) = 0.

$$\begin{gathered} x^2-\left(4k+1\right)x+2\left(2k^2+k-3\right)=0 \\ D={\left(-\left(4k+1\right)\right)}^2-4·1·2\left(2k^2+k-3\right)= \\ =16k^2+8k+1-16k^2-8k+24=25 \\ x=\frac{4k+1\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{4k+1\pm 5}{2} \\ {x}_1=\frac{4k+1+5}{2}=\frac{4k+6}{2}=\frac{2\left(2k+3\right)}{2}=2k+3 \\ {x}_2=\frac{4k+1-5}{2}=\frac{4k-4}{2}=\frac{2\left(2k-2\right)}{2}=2k-2 \end{gathered}$$

Ответ: 2k-2; 2k+3

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной $x$. Его вид: $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a, b, c$ зависят от параметра $k$.

Выпишем коэффициенты:

$a = 1$

$b = -(4k + 1)$

$c = 2(2k^2 + k - 3)$

Для нахождения корней уравнения вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-(4k + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2(2k^2 + k - 3)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$D = (4k + 1)^2 - 8(2k^2 + k - 3)$

$D = (16k^2 + 8k + 1) - (16k^2 + 8k - 24)$

$D = 16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 - 8k + 24$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$D = 25$

Дискриминант $D = 25 > 0$ является постоянной величиной. Это означает, что при любом значении параметра $k$ данное уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Подставим наши значения:

$x_{1,2} = \frac{4k + 1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{4k + 1 \pm 5}{2}$

Теперь найдем каждый корень:

$x_1 = \frac{4k + 1 - 5}{2} = \frac{4k - 4}{2} = 2(k - 1)$

$x_2 = \frac{4k + 1 + 5}{2} = \frac{4k + 6}{2} = 2k + 3$

Ответ: $x_1 = 2k - 2$, $x_2 = 2k + 3$.