Номер 734, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 734, страница 174.

734. Решите относительно y уравнение:

а) py – p – 1 = 0;

б) py – 3y – 4p + 12 = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}py-p-1=0 \\ py=p+1 \\ y=\frac{p+1}{p} \text{при }p\ne 0 \end{gathered}$$

при p=0 нет решений

Ответ: при p=0 - нет решений;

при $p\ne 0; y=\frac{p+1}{p}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}py-3y-4p+12=0 \\ y\left(p-3\right)-4\left(p-3\right)=0 \\ \left(y-4\right)\left(p-3\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-4=0& \text{или}& p-3=0\\ y=4& & p=3\end{array} \end{gathered}$$

y=4 при p≠3

$\begin{array}{cl}\text{при} p=3;& 3y-3y-4·3+12=0\\ & 0y=0\\ & y - \text{любое число}\end{array}$

Ответ: при p≠3; y=4;

при p=3; y - любое число

а)

Данное уравнение $py - p - 1 = 0$ является линейным относительно переменной $y$. Чтобы его решить, нужно выразить $y$.

Перенесем слагаемые, не содержащие $y$, в правую часть уравнения:
$py = p + 1$

Теперь необходимо разделить обе части на коэффициент при $y$, то есть на $p$. Это действие возможно только если $p \neq 0$. Поэтому рассмотрим два случая.

1. Если $p \neq 0$, то делим обе части уравнения на $p$:
$y = \frac{p+1}{p}$

2. Если $p = 0$, то уравнение принимает вид:
$0 \cdot y = 0 + 1$
$0 = 1$
Это неверное равенство, следовательно, при $p = 0$ уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: если $p=0$, то корней нет; если $p \neq 0$, то $y = \frac{p+1}{p}$.

б)

В уравнении $py - 3y - 4p + 12 = 0$ сначала сгруппируем слагаемые: те, что содержат $y$, оставим в левой части, а остальные перенесем в правую.
$py - 3y = 4p - 12$

Вынесем общий множитель $y$ в левой части и общий множитель 4 в правой части:
$y(p - 3) = 4(p - 3)$

Коэффициент при $y$ равен $(p-3)$. Решение зависит от того, равен ли этот коэффициент нулю. Рассмотрим два случая.

1. Если $p - 3 \neq 0$, то есть $p \neq 3$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на выражение $(p-3)$, которое не равно нулю:
$y = \frac{4(p - 3)}{p - 3}$
$y = 4$

2. Если $p - 3 = 0$, то есть $p = 3$.
Подставим это значение в преобразованное уравнение $y(p - 3) = 4(p - 3)$:
$y(3 - 3) = 4(3 - 3)$
$y \cdot 0 = 4 \cdot 0$
$0 = 0$
Это верное равенство, истинное при любом значении $y$. Следовательно, при $p=3$ решением уравнения является любое число.

Ответ: если $p=3$, то $y$ — любое число; если $p \neq 3$, то $y = 4$.